题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线l₁：y=x²-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l₁上的动点（B不与A、C重合），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D。
（1）求l₂的解析式；
（2）求证：点D一定在l₂上；
（3）□ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由。注：计算结果不取近似值。

答案

解：（1）设l₂的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵l₁与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），
顶点坐标是（0，-4），l₂与l₁关于x轴对称，
∴l₂过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
∴，∴a=-1，b=0，c=4，
即l₂的解析式为y=-x²+4；
（2）设点B（m，n）为l₁：y=x²-4上任意一点，则n=m²-4（*）
∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴B、D关于原点O对称，
∴点D的坐标为D（-m，-n）
由（*）式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即点D的坐标满足y=-x²+4，
∴点D在l²上；
（3）□ABCD能为矩形；
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l₁：y=x²-4上，
可设点B的坐标为（x₀，x₀²-4），
则OH=|x₀|，BH=|x₀²-4|，
易知，当且仅当BO=AO=2时，□ABCD为矩形，
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x₀|²+|x₀²-4|²=2²，（x₀²-4）（x₀²-3）=0，
∴x₀=±2（舍去）、x₀=±，
所以，当点B坐标为B（，-1）或B′（-，-1）时，□ABCD为矩形，
此时，点D的坐标分别是D（-，1）、D′（，1），
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′，
设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，
∴，
∴，
∴EO=4-2，
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，
其面积为S=2S_ΔACE=。