题目

题型：期末题难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点，
（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α，当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由。

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点，
∴其表达式可以写成y=ax²+bx，
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，
把两点的坐标代入y=kx+4，得，解得，
∴直线是y=-x+4，两点是B（1，3），C（2，2），
代入二次函数的表达式，得，解得，
∴y=-2x²+5x为抛物线的表达式。
（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0），
∴AD=，
而OC=2，
∴OC=AD，
∴C是Rt△AOD的外心。
（3）通过分析知道，P为顶点时，S_△OPN面积最大，
此时，P，
又∵方程-2x²+5x=0的两根是x₁=0，x₂=，即ON=，
∴OP=，
∴sinα=，
此时△PON有最大面积（底是相同的）。
（4）S_△OCN=ON×2×=ON=，
S_△OPN=·ON·PQ（P是PQ⊥NO的垂足）
，
令S_△OPN：S_△OCN=，
则，
得16x²-40x+9=0，
∴x₁=，x₂=，即两点分别是P₁，P₂，
即存在P₁、P₂两点。