题目

题型：湖南省期末题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），顶点为D，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F。
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得四边形PEDF为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设点P的横坐标为m，△BCF的面积为S，求S关于m的函数关系式及S的最大值。

答案

解：（1）根据题意
解得
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3。
（2）存在
理由如下：设直线BC的解析式是y=kx+b
则
解得
∴直线BC的解析式是y=-x+3
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴抛物线对称轴是x=1，顶点D的坐标是（1，4），
当x=1时，y=-1+3=2，
∴点E的坐标是（1，2），
∴DE=4-2=2，
设点P的横坐标是x，则点P的坐标是P（x，-x+3），
点F的坐标是F（x，-x²+2x+3），
∴PF=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
若四边形PEDF是平行四边形，则PF=DE，
即-x²+3x=2，解得x=2，x=1（舍去）
∴-x+3=-2+3=1，
∴点P的坐标是（2，1），
∴存在点P（2，1），
使得四边形PEDF为平行四边形。
（3）根据（2）的结论，PF=-m²+3m，
设点B到PF的距离是h₁，点C到PF的距离是h₂，
则S_△BCF=S_△PBF+S_△PCF，
=×PF×h₁+×PF×h₂，
=×PF×（h₁+h₂），
=（-m²+3m）×3，
=-（m-）²+，
∴S关于m的函数关系式为S=-（m-）²+，
当m=时，S的最大值为。