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题目
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已知:m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.
答案
解:(1)解方程x2﹣6x+5=0,
得x1=5,x2=1
由m<n,有m=1,n=5
所以点A、B的坐标分别为A(1,0),B(0,5).
将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c.

解这个方程组,得
所以,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5
(2)由y=﹣x2﹣4x+5,令y=0,得﹣x2﹣4x+5=0
解这个方程,得x1=﹣5,x2=1
所以C点的坐标为(﹣5,0).由顶点坐标公式计算,得点D(﹣2,9).
过D作x轴的垂线交x轴于M.
则S△DMC=×9×(5﹣2)=
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14,
S△BOC=×5×5=
所以,S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+=15.
(3)设P点的坐标为(a,0)
因为线段BC过B、C两点,
所以BC所在的直线方程为y=x+5.
那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5),
PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H(a,﹣a2﹣4a+5).
由题意,得①EH=EP,
即(﹣a2﹣4a+5)﹣(a+5)=(a+5)
解这个方程,得a=﹣或a=﹣5(舍去)
②EH=EP,即(﹣a2﹣4a+5)﹣(a+5)=(a+5)
解这个方程,得a=﹣或a=﹣5(舍去)
P点的坐标为(﹣,0)或(﹣,0).
核心考点
试题【已知:m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式;(2)】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点在一次函数y2=﹣x+m与二次函数y1=ax2+bx﹣3图象上.
(1)求m的值和二次函数的解析式.
(2)请直接写出使y2>y1时,自变量x的取值范围.
(3)说出所求的抛物线y1=ax2+bx﹣3可由抛物线y=x2如何平移得到?
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如图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?
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某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
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如图,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是△EFG斜边上的中点.
如图,若整个△EFG从图的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在△EFG平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).
(1)当x为何值时,OP∥AC;
(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.(参考数据:1142=12996,1152=13225,1162=13456或4.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)
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面对国际金融危机.某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游,现推出如下标准:某单位组织员工去该风景区旅游,设有x人参加,应付旅游费y元.
(1)请写出y与x的函数关系式;
(2)若该单位现有45人,本次旅游至少去26人,则该单位最多应付旅游费多少元?
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