题目

题型：同步题难度：来源：

已知：m、n是方程x²﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

答案

解：（1）解方程x²﹣6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x²+bx+c．
得
解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为y=﹣x²﹣4x+5
（2）由y=﹣x²﹣4x+5，令y=0，得﹣x²﹣4x+5=0
解这个方程，得x₁=﹣5，x₂=1
所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S_△DMC=×9×（5﹣2）=
S_梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S_△BOC=×5×5=
所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC﹣S_△BOC=14+﹣=15．
（3）设P点的坐标为（a，0）
因为线段BC过B、C两点，
所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=﹣x²﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a²﹣4a+5）．
由题意，得①EH=EP，
即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）
解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）
②EH=EP，即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）
解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）
P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．