题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x²在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．
(1)如图1，当点A的横坐标为       时，矩形AOBC是正方形；
(2)如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y＝x²作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝﹣x²，试判断抛物线y＝﹣x²经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

答案

解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝90°﹣45°＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为(﹣a，a)(a≠0)，则(﹣a)²＝a，
解得a₁＝﹣1，a₂＝0(舍去)，
∴点A的坐标﹣a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
当x＝﹣时，y＝(﹣)²＝，
即OE＝，AE＝，
∵∠AOE+∠BOF＝180°﹣90°＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝∠BOF，
又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝＝＝，
设OF＝t，则BF＝2t，
∴t²＝2t，解得：t₁＝0(舍去)，t₂＝2， ∴点B(2，4)；
②过点C作CG⊥BF于点G，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，∠FBO+∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，∴∠EAO＝∠CBG，
在△AEO和△BGC中，，
∴△AEO≌△BGC(AAS)，
∴CG＝OE＝，BG＝AE＝．
∴x_c＝2﹣＝，y_c＝4+＝，
∴点C(，)，
设过A(﹣，)、B(2，4)两点的抛物线解析式为y＝﹣x²+bx+c，
由题意得，，
解得，
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y＝﹣x²+3x+2，
当x＝时，y＝﹣()²+3×+2＝，
所以点C也在此抛物线上，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为
y＝﹣x²+3x+2＝﹣(x﹣)²+；
平移方案：先将抛物线y＝﹣x²向右平移个单位，
再向上平移个单位得到抛物线y＝﹣(x﹣)²+．