题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线  ( 为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．  
（1）求的值及抛物线的函数表达式；  
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；  
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．

答案

解：（1）∵经过点（﹣3，0），
∴0=+m，解得m=，
∴直线解析式为，C（0，）．
∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），
∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
∵抛物线经过C（0，），
∴=a3（﹣5），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x²+x+；
（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF．
如答图1，
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
又∵，
∴△CAO≌△EFG，
∴EG=CO=，即y_E=，
∴=x_E²+x_E+，解得x_E=2（x_E=0与C点重合，舍去），
∴E（2，），SACEF=；
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（+1，），
S_ACE′F′=．
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，
可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
∵y=kx+3﹣k，y=x²+x+，
联立化简得：x²+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x₁+x₂=2﹣4k，x₁x₂=﹣4k﹣3．
∵y₁=kx₁+3﹣k，y₂=kx₂+3﹣k，∴y₁﹣y₂=k（x₁﹣x₂）．
根据两点间距离公式得到：
M₁M₂===
∴M₁M₂===4（1+k²）．
又M₁P===；
同理M₂P=
∴M₁PM₂P=（1+k²）=（1+k²）=（1+k²）=4（1+k²）．
∴M₁PM₂P=M₁M₂，
∴=1为定值．