题目

题型：四川省期中题难度：来源：

如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，
∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，
∴点B的坐标为（）．
（2）将A（2，0）、B（）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得
解方程组，有a=，b=，c=0．
∴所求二次函数解析式是y=x²+x．
（3）设存在点C（x，x²+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大． 过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF||OE|+|CF||ED|=|CF||OD|=|CF|，
而|CF|=yC﹣yF=x²+x﹣x=﹣x²+x，
∴S△OBC=x²+x．
∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．此时，点C坐标为（），四边形ABCO的面积为．