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题目
题型:中考真题难度:来源:
已知抛物线经过A(2,0),设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B。
(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;
(2)如图,在直线 y=x上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由。
答案
解:(1)由于抛物线经过A(2,0),
所以
解得
所以抛物线的解析式为
(*)将(*)配方,得
所以顶点P的坐标为(4,-2),
令y=0,得,解得
所以点B的坐标是(6,0);
(2)在直线上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形,
理由如下:设直线PB的解析式为y=kx+b,把B(6,0),P(4,-2)分别代入,
,解得     
所以直线PB的解析式为
又直线OD的解析式为      
所以直线PB∥OD,
设设直线OP的解析式为y=mx,
把P(4,-2)代入,得   解得
如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形,
设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得0=
所以
所以直线BD的解析式为
解方程组,得
所以D点的坐标为(2,2); 
(3)符合条件的点M存在.验证如下:
过点P作x轴的垂线,垂足为为C,则PC=2,AC=2,
由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,
所以△APB是等边三角形,只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点,
连接PM,BM,
由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,
可得△AMP≌△AMB,
因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB。
核心考点
试题【已知抛物线经过A(2,0),设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B。(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;(2)如图,在直线 y=x上是否存在点D,使四边形OPB】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知抛物线顶点为(1,3),且与y轴交点的纵坐标为﹣1,则此抛物线解析式是(    ).
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已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2)
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围.
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(2,-3),C(3,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,E是抛物线上的点,并且满足△AEC的面积是△ADC面积的3倍,求点E的坐标;
(3)设点M是抛物线上,位于x轴的下方,且在对称轴左侧的一个动点,过M作x轴的平行线,交抛物线于另一点N,再作MQ⊥x轴于Q,NP⊥x轴于P.试求矩形MNPQ周长的最大值.
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如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h,已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。
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如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)。
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