题目

题型：中考真题难度：来源：

已知抛物线经过A（2，0），设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。

答案

解：（1）由于抛物线经过A（2，0），
所以，
解得
所以抛物线的解析式为，
（*）将（*）配方，得，
所以顶点P的坐标为（4，-2），
令y=0，得，解得，
所以点B的坐标是（6，0）；
（2）在直线上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形，
理由如下：设直线PB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），P（4，-2）分别代入，
得，解得     
所以直线PB的解析式为，
又直线OD的解析式为      
所以直线PB∥OD，
设设直线OP的解析式为y=mx，
把P（4，-2）代入，得   解得，
如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形，
设直线BD的解析式为，将B（6，0）代入，得0=，
所以，
所以直线BD的解析式为，
解方程组，得
所以D点的坐标为（2，2）； 
（3）符合条件的点M存在.验证如下：
过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，
所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，
连接PM，BM，
由于AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，
可得△AMP≌△AMB，
因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB。