题目

题型：河西区一模难度：来源：

已知二次函数y₁=ax²+bx+1（a＞0），一次函数y₂=x．
（1）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（2）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2，求a、b的值；
（3）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象有两个交点（x₁，0）（x₂，0），且满足x₁＜2＜x₂＜4，此时设函数y₁的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1．

答案

（1）由题意可知一元二次方程ax²+bx+1=x有两个相等的根
∴△=（b-1）²-4a=0
a与b之间的关系便是（b-1）²=4a；

（2）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2
则 ax²+（b-1）x+1=0
有且仅有一解 x=2
4a+2b-1=0
∵（b-1）²=4a，
∴（b-1）²+2b-1=0
∴b²=0，
解得 b=0，
∴1=4a，
∴a=

1

4

，
故a=

1

4

，b=0；

（3）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象有两个交点（x₁，0）（x₂，0），且满足x₁＜2＜x₂＜4
则 ax²+（b-1）x+1=0 有两不同实根x₁，x₂，且x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
故x=2时 ax²+（b-1）x+1＜0，x=4时 ax²+（b-1）x+1＞0
∴4a+2b-1＜0    ①
16a+4b-3＞0   ②
由②-①×3，得
4a-2b＞0
∴b＜2a
∵a＞0
∴

b

2a

＜1
∴-

b

2a

＞-1
∴y₁的对称轴为x=x₀=-

b

2a

∴x₀＞-1．