题目

题型：白云区一模难度：来源：

已知抛物线的解析式为y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求证：不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值；
（2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的所有点P的坐标（可用含m的代数式表示）
（3）若（2）中△PAB的面积为s（s＞0），试根据面积s值的变化情况，确定符合条件的点P的个数．

答案

（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点．
设A（x₁，0），B（x₂，0），
则|x1-x2|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=|

b2-4ac

a

|
=|

(2m)2-4×(-1)(4-m2)

-1

|=4；

（2）设P（a，b），则由题意b=-a²+2am+4-m²，且|

1

2

×4×b|=8，
解得b=±4．
当b=4时得：a=m．
即P（m，4）；
当b=-4时得：a=m±2

2

．即P(m+2

2

，-4)或P（m-2

2

，-4）；

（3）由（2）知当s=8时，符合条件的点P有2个，
知当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，
当知当s＞8时，符合条件的点P有2个．