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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,O为原点,抛物线y=x2+bx+3与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,tan∠ABO=
1
3
,顶点为P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C(-5,6),试求k的值及平移后抛物线的最小值;
(3)设平移后的抛物线与y轴相交于D,顶点为Q,点M是平移的抛物线上的一个动点.请探究:当点M在何位置时,△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标.友情提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
b
2a
,顶点坐标是(-
b
2a
4ac-b2
4a
)
答案
(1)令x=0,则y=3.
∴B点坐标为(0,3),OB=3.
∵tan∠OAB=
OA
AB
=
OA
3
=
1
3

∴AO=1.
∴A点坐标为(-1,0).
∴0=(-1)2+b(-1)+3.
求得b=4.
∴所求的抛物线解析式为y=x2+4x+3.

(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3+k.
∵它经过点(-5,6),
∴6=(-5)2+4(-5)+3+k.
∴k=-2.
∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3-2=x2+4x+1.
配方,得y=(x+2)2-3.
∵a=1>0,
∴平移后的抛物线的最小值是-3.

(3)由(2)可知,BD=PQ=2,对称轴为x=-2.
又S△MBD=2S△MPQ
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍.
设M点坐标为(m,n).
①当M点的对称轴的左侧时,则有0-m=2(-2-m).
∴m=-4.
∴n=(-4)2+4(-4)+1=1.
∴M(-4,1).
②当M点在对称轴与y轴之间时,则有0-m=2[m-(-2)].
∴m=-
4
3

∴n=(-
4
3
2+4(-
4
3
)+1=-
23
9

∴M(-
4
3
,-
23
9
).
③当M点在y轴的右侧时,则有m=2[(m-(-2)].
∴m=-4<0,不合题意,应舍去.
综合上述,得所求的M点的坐标是(-4,1)或(-
4
3
,-
23
9
).
核心考点
试题【如图,在直角坐标系中,O为原点,抛物线y=x2+bx+3与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,tan∠ABO=13,顶点为P.(1)求抛物线的解析式;】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
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初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架,使长方形框架面积最大.
小组讨论后,同学们做了以下三种试验:

请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6米,当AB为1米,长方形框架ABCD的面积是______m2
(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6米,设AB为x米,长方形框架ABCD的面积为S=______(用含x的代数式表示);当AB=______时米,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为l米,设AB为x米,当AB是多少米时,长方形框架ABCD的面积S最大.
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已知抛物线y=(x-2)2的顶点为C,直线y=2x+4与抛物线交于A、B两点,试求S△ABC
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图1至图4的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O.
如图1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大(即点O不动,正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8;再经过一秒,由8×8扩大为10×10;…),直到充满正方形ABCD,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小.
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动(即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始,先向左平移,当点Q与点B重合时,再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动,设运动时间为x秒,它们的重叠部分面积为y个平方单位.
(1)当正方形MNPQ第一次回到起始位置时,正方形EFGH是否也变化到起始位置?
(2)请你在图2和图3中分别画出x为3秒、18秒时,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分(重叠部分用阴影表示),并分别写出重叠部分的面积;
(3)正方形EFGH第一次充满正方形ABCD之前(即x≤7时),何时正方形EFGH和正方形MNPQ重叠部分的面积为3平方单位.
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如图1,已知直线l:y=-x+2与y轴交于点A,抛物线y=(x-1)2+k经过点A,其顶点为B,另一抛物线y=(x-h)2+2-h(h>1)的顶点为D,两抛物线相交于点C.
(1)求点B的坐标,并说明点D在直线l上的理由;
(2)设交点C的横坐标为m.
①交点C的纵坐标可以表示为:______或______,由此进一步探究m关于h的函数关系式;
②如图2,若∠ACD=90°,求m的值.
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