题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO,使M在y轴上,N在BC边上,P在OC边上,当MN为多少时,矩形MNPO的面积最大?最大面积是多少?
(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分,试说明你的分法.
答案
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得y=10,
∴A(0,10)
∵AB∥OC,
∴B点纵坐标为10,将y=10代入抛物线表达式得,
10=-
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4 |
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∴x1=0,x2=8.
∵B点在第一象限,
∴B点坐标为(8,10)
∵C点在x轴上,
∴C点纵坐标为0,将y=0代入抛物线表达式得,
-
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4 |
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解得x1=-10,x2=18.
∵C在原点的右侧,
∴C点坐标为(18,0). (4分)
(2)法一:过B作BQ⊥OC,交MN于H,交OC于Q,则Rt△BNH∽Rt△BCQ,
∴
BH |
BQ |
HN |
QC |
设MN=x,NP=y,则有
10-y |
10 |
x-8 |
18-8 |
∴y=18-x. (6分)
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时,有最大值81.
即MN=9时,矩形MNPO的面积最大,最大值为81. (8分)
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法二:过B作BQ⊥x轴于Q,则Rt△CPN∽Rt△CQB,
∴
CP |
CQ |
NP |
BQ |
设MN=x,NP=y,则有
18-x |
18-8 |
y |
10 |
∴y=18-x.
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时,有最大值81.
即MN=9时,矩形MNPO的面积最大,最大值为81.
法三:利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答,解答过程与法二相同.
法四:过B点作BQ⊥x轴于Q,则Rt△BQC∽Rt△NPC,
QC=OC-OQ=18-8=10,又QB=OA=10,
∴△BQC为等腰直角三角形,
∴△NPC为等腰直角三角形.
设MN=x时矩形MNPO的面积最大.
∴PN=PC=OC-OP=18-x.
∴S矩形MNOP=MN•PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时,有最大值81.
即MN=9时,矩形MNPO的面积最大,最大值为81.
(3)①对于任意一条直线,将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中,总有一个位置使得直线将该梯形面积分割
成相等的两部分.
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②过上、下底作一条直线交AB于E,交OC于F,且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可. (4分)
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③构造一个三角形,使其面积等于整个梯形面积的一半,因此有:
△OCP1,P1(0,
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④平行于两底的直线,一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分;
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核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC,∠AOC=90°,AB∥OC,OC在x轴上,过A、B、C三点的抛物线表达式为y=-118x2+49x+10.(1)】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)如图1,若F1:y=x2,经过变换后,得到F2:y=x2+bx,点C的坐标为(2,0),则:
①b的值等于______;
②四边形ABCD为( )
A、平行四边形;B、矩形;C、菱形;D、正方形.
(2)如图2,若F1:y=ax2+c,经过变换后,点B的坐标为(2,c-1),求△ABD的面积;
(3)如图3,若F1:y=
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(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);
探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.
(2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3);
探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.
(3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠ACC′=α(30°<α<90°(图4);
探究:在图4中,线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N•E′M的值,如果有变化,请你说明理由.
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(1)试求b、c的值和抛物线顶点F的坐标;
(2)求△ADC的面积;
(3)已知,点Q是直线AD上方抛物线上的一个动点(点Q与A、D不重合),在点Q的运动过程中,有人说点Q、F重合时△AQD的面积最大,你认为其说法正确吗?若你认为正确请求出此时△AQD的面积,若你认为不正确请说明理由,并求出△AQD的最大面积.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为C,抛物线的对称轴交x轴于点D,求证:点D是△ABC的外心;
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△ABP=1?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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