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题目
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抛物线y=-x2+2bx-(2b-1)(b为常数)与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)(x2>x1>0)两点,设OA•OB=3(O为坐标系原点).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为C,抛物线的对称轴交x轴于点D,求证:点D是△ABC的外心;
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△ABP=1?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意,得x1•x2=2b-1.(1分)
∵OA•OB=3,OA=x1OB=x2
∴x1•x2=3.(2分)
∴2b-1=3.
∴b=2.(3分)
∴所求的抛物线解析式是:y=-x2+4x-3.(4分)

(2)证明:如图,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点C(2,1),D(2,0),CD=1.(5分)
令y=0,得-x2+4x-3=0.
解得x1=1,x2=3.(6分)
∴A(1,0),B(3,0),AD=DB=1.(7分)
∴AD=DC=DB.
∴D为△ABC的外心.(8分)

(3)解法一:设抛物线存在点P(x,y),使S△ABP=1.
由(2)可求得AB=3-1=2.
∴S△ABP=
1
2
AB•|y|=
1
2
×2•|y|=1.(9分)
∴y=±1.
当y=1时,-x2+4x-3=1,解得x1=x2=2.(10分)
当y=-1时,-x2+4x-3=-1,解得x=2±


2
.(11分)
∴存在点P,使S△ABP=1.
点P的坐标是(2,1)或(2+


2
,-1)或
(2-


2
,-1).(12分)
解法二:由(2)得S△ABC=
1
2
AB•CD=
1
2
×2×1=1.(9分)
∴顶点C(2,1)是符合题意的一个点.(10分)
另一方面,直线y=-1上任一点M,能使S△AMB=1,
把直线y=-1代入抛物线解析式,得-x2+4x-3=-1.
解得x=2±


2
.(11分)
∴存在点P,使S△ABP=1.
点P的坐标是(2,1)或(2+


2
,-1)或(2-


2
,-1).(12分)
核心考点
试题【抛物线y=-x2+2bx-(2b-1)(b为常数)与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)(x2>x1>0)两点,设OA•OB=3(O为坐标系原点).(1)求】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知抛物线y=
1
2
x2-2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连接O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.
(1)求直线l的函数解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求此二次函数图象与x轴的交点,当x满足什么条件时,函数值y<0;
(3)把此抛物线向上平移多少个单位时,抛物线与x轴只有一个交点?并写出平移后的抛物线的解析式.
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已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点,P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动,到达E点.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y,则当y=
1
3
时,x的值等于______,______.
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某商店购买一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高一元,销售量相应减少20件.如何提高销售价,才能在半月内获得最大利润?
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如图,在平面直角坐标系xOy中,AO=8,AB=AC,sin∠ABC=
4
5
.CD与y轴交于点E,且S△COE=S△ADE.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
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