题目

题型：不详难度：来源：

图1是边长分别为4

3

和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠ACC′=α（30°＜α＜90°（图4）；
探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由．

答案

（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD．

（2）如图在△CQT中
∵∠TCQ=30°∠RQP=60°
∴∠QTC=30°
∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x
∴RT=3-x
∵∠RTS+∠R=90°
∴∠RST=90°
∴y=

3

4

×3²-

3

8

（3-x）²=-

3

8

（3-x）²+

9 3

4

（0≤x≤3）．

（3）答：C′N•E′M的值不变，理由为：
证明：∵∠ACB=60°
∴∠MCE′+∠NCC′=120°
∵∠CNC′+∠NCC′=120°
∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′
∴△E′MC∽△C′CN
∴

E′M

C′C

=

E′C

C′N

，
∴C′N•E′M=C′C•E′C=

3

2

×

3

2

=

9

4

．