题目
题型:不详难度:来源:
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
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答案
∴A(-2,0),B(8,0).
如解答图所示,连接CE.
在Rt△OCE中,OE=AE-OA=5-2=3,CE=5,
由勾股定理得:OC=
CE2-OE2 |
52-32 |
∴C(0,-4).
(2)∵点A(-2,0),B(8,0)在抛物线上,
∴可设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x-8).
∵点C(0,-4)在抛物线上,
∴-4=a×2×-8,解得a=
1 |
4 |
∴抛物线的解析式为:y=
1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
4 |
25 |
4 |
∴顶点F的坐标为(3,-
25 |
4 |
(3)①∵△ABC中,底边AB上的高OC=4,
∴若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.
(I)若yM=4,则
1 |
4 |
3 |
2 |
整理得:x2-6x-32=0,解得x=3+
41 |
41 |
∴点M的坐标为(3+
41 |
41 |
(II)若yM=-4,则
1 |
4 |
3 |
2 |
整理得:x2-6x=0,解得x=6或x=0(与点C重合,故舍去).
∴点M的坐标为(6,-4).
综上所述,满足条件的点M的坐标为:(3+
41 |
41 |
②直线MF与⊙E相切.理由如下:
由题意可知,M(6,-4).
如解答图所示,连接EM,MF,过点M作MG⊥对称轴EF于点G,
则MG=3,EG=4.
在Rt△MEG中,由勾股定理得:ME=
MG2+EG2 |
32+42 |
∴点M在⊙E上.
由(2)知,顶点F的坐标(3,-
25 |
4 |
25 |
4 |
∴FG=EF-EG=
9 |
4 |
在Rt△MGF中,由勾股定理得:MF=
MG2+FG2 |
32+(
|
15 |
4 |
在△EFM中,∵EM2+MF2=52+(
15 |
4 |
25 |
4 |
∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°.
∵点M在⊙E上,且∠EMF=90°,
∴直线MF与⊙E相切.
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核心考点
试题【如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,顶点为F.(1)求A,B,C】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线解析式;
(2)点P在抛物线上,且点P的横坐标为x(-2<x<0),设△PBC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求S的最大值;
(3)点M(m,n)是直线AC上的动点.设m=2-a,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数,求实数a的取值范围.
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1 |
2 |
(1)请直接写出点C、D的坐标;
(2)求抛物线L1的解析式;
(3)若正方形以每秒
5 |
(4)在(3)的条件下,抛物线L1与正方形一起平移,同时停止,得到抛物线L2.两抛物线的顶点分别为M、N,点P是x轴上一动点,点Q是抛物线L1上一动点,是否存在这样的点P、Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下,要使得一周的销售利润达到8000元,销售单价应定为多少元?
(3)利用配方法,请你为超市估算一下,若要获得最大利润,一周应进货多少件?
1 |
2 |
(I)求抛物线C1的顶点坐标;
(II)①若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于点B,求证:
1 |
AF |
1 |
BF |
②取抛物线C1上任意一点P(xP,yP)(0<xP<1),连接PF,并延长交抛物线C1于Q(xQ,yQ).试判断
1 |
PF |
1 |
QF |
(III)将抛物线C1作适当的平移,得抛物线C2:y2=
1 |
2 |
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若不存在,请说明理由;若存在,请你求出点P的坐标.
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