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题目
题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BCx轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求A点坐标并求抛物线的解析式;
(3)若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
答案
(1)y=ax2-5ax+4,
对称轴:x=-
-5a
2a
=
5
2


(2)经过△ABC的三个顶点,已知BCx轴,点A在x轴上,点C在y上,且AC=BC,
令x=0,y=4,可知C点坐标(0,4),
BCx轴,所以B点纵坐标也为4,
又∵BC两点关于对称轴x=
5
2
对称,
即:
xB+0
2
=
5
2

xB=5,
∴B点坐标(5,4).
A点在x轴上,设A点坐标(m,0),
AC=BC,即AC2=BC2
AC2=42+m2
BC=5,
∴42+m2=52
∴m=±3,
∴A点坐标(-3,0),
将A点坐标之一(-3,0)代入y=ax2-5ax+4,
0=9a+15a+4,
a=-
1
6

y=-
1
6
x2+
5
6
x+4;
将A点坐标是(3,0),则与A在x轴的负半轴矛盾,故舍去.
故函数关系式为:y=-
1
6
x2+
5
6
x+4.

(3)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M.
过点B作BQ⊥x轴于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=
5
2

①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80(8分)
在Rt△ANP1中,P1N=


AP12-AN2
=


AB2-AN2
=


80-(5.5)2
=


199
2

∴P1
5
2
,-


199
2
).(9分)
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:△P2AB.
在Rt△BMP2中MP2=


B
P22
-BM2
=


AB2-BM2

=


80-
25
4

=


295
2
,(10分)
∴P2=(
5
2
8-


295
2
).(11分)
③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K,显然Rt△P3CKRt△BAQ.
P3K
CK
=
BQ
AQ
=
1
2

∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1,(13分)
∴P3(2.5,-1).
④以B为顶点时,交于x轴上方,求得P(
5
2
8+


295
2
)(舍去).
核心考点
试题【如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴;(2)求A点】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为P,连接AC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S△MAP=2S△ACP?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
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某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:m=162-3x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式;
(2)若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为什么最合适?最大销售利润是多少?
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如图,二次函数y1=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,-3),一次函数y2=mx+n的图象过点A、C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标;
(3)根据图象写出y2<y1时,x的取值范围.
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如图1所示,已知二次函数y=ax2-6ax+c与x轴分别交于点A(2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,-8t)(t>0).
(1)求a、c的值及抛物线顶点D的坐标(用含t的代数式表示);
(2)如图1,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数t的值;
(3)如图2,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,-4)、(4,-3),边HG位于边EF的右侧.若点P是边EF或边FG上的任意一点(不与E、F、G重合),请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形;
(4)将(3)中的正方形EFGH水平移动,若点P是正方形边FG或EH上任意一点,在水平移动过程中,是否存在点P,使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形,其中PA、PB为对边.若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,


3
),△AOB的面积是


3

(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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