题目

题型：不详难度：来源：

已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为______，C的坐标为______，D的坐标为______；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）①B（4，-2）C（4，-8）D（0，-6）
②设抛物线的解析式为y=a（x-4）²-2，已知抛物线过D点，
因此-6=a（x-4）²-2，
解得a=-

1

4

．
抛物线的函数关系式为：y=-

1

4

（x-4）²-2．
根据对称可知：E（8，-6）
③直线AD：y=2x-6，
把y=2x-6代入y=-

1

4

（x-4）²-2，
整理得：x²=0，得x₁=x₂=0
∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点．

（2）设A（m，h），则B的坐标为（m，-h），C的坐标为（m，h-10）．
假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，
设DE与BC相交于点F，
∵OM=DE，OM∥DE，AC⊥OM，
∴CF=

1

2

AB，即BF=CF=

1

2

AB．
∴10-3h=h，
即h=

5

2

∴AB=5
∴B、P两点重合
∴m=

OP2-h2

=

52-( 5 2 )2

=

5

2

3

．