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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知直线y=x与抛物线y=
1
2
x2
交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=
1
2
x2
的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.
答案
(1)如图,∵直线y=x与抛物线y=
1
2
x2
交于A、B两点,





y=x
y=
1
2
x2

解得,





x=0
y=0





x=2
y=2

∴A(0,0),B(2,2);

(2)由(1)知,A(0,0),B(2,2).
∵一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=
1
2
x2
的函数值为y2
∴当y1>y2时,根据图象可知x的取值范围是:0<x<2;

(3)该抛物线上存在4个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形.理由如下:
∵A(0,0),B(2,2),
∴AB=2


2

根据题意,可设P(x,
1
2
x2).
①当PA=PB时,点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点.
易求线段AB的中垂线的解析式为y=-x+2,





y=-x+2
y=
1
2
x2

解得,





x1=-


5
-1
y1=3+


5





x2=


5
-1
y2=3-


5

∴P1(-


5
-1,3+


5
),P2


5
-1,3-


5
);
②当PA=AB时,根据抛物线的对称性知,点P与点B关于y轴对称,即P3(-2,2);
③当AB=PB时,点P4的位置如图所示.
综上所述,符号条件的点P有4个,其中P1(-


5
-1,3+


5
),P2


5
-1,3-


5
),P3(-2,2).
核心考点
试题【如图,已知直线y=x与抛物线y=12x2交于A、B两点.(1)求交点A、B的坐标;(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=12x2的函数值为y2.若y】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,一次函数y=x+k图象过点A(1,0),交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且OB=
1
2
BC,过A,C两点的抛物线交直线AB于点D,且CDx轴.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围.
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如图,已知直线y=kx+2经过点P(1,
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2
),与x轴相交于点A;抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和点P,顶点为M.
(1)求直线y=kx+2的表达式;
(2)求抛物线y=ax2+bx的表达式;
(3)设此直线与y轴相交于点B,直线BM与x轴相交于点C,点D的坐标为(
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3
,0),试判断△ACB与△ABD是否相似,并说明理由.
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如图,一次函数y=-2x+t(t>0)的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求点C,点D的坐标;
(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,若以点C,点D为直角顶点的△PCD与△OCD相似.求t的值及对应的点P的坐标.
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如图1,B是长度为1的线段AE上任意一点,在AE的同一侧分别作正方形ABCD和长方形BEFG,且EF=2BE.

(1)点B在何处时,正方形ABCD的面积与长方形BEFG的面积和最小,最小值为多少?
(2)若点C与点G重合,M为AB中点,N为EF中点,MN与BC交于点H(如图2所示),将△OMA沿直线DM,△MNE沿直线MN分别向矩形AEFD内折叠,求四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积.
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如图,已知二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,其顶点为D,直线DC的函数关系式为y=kx+b,又tan∠OBC=1.
(1)求二次函数的解析式和直线DC的函数关系式;
(2)求△ABC的面积.
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