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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点.若OA、OB(OA<OB)的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45°.
(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
(2)过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值.
答案
(1)解方程x2-4x+3=0得:
x=1或x=3,而OA<OB,
则点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0);(1分)
∵A、B关于抛物线对称轴对称,
∴△DAB是等腰三角形,而∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,得D(1,-2);
令抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-1)2-2,
∵抛物线过点A(-1,0),
∴0=4a-2,得a=
1
2

故抛物线对应的二次函数解析式为y=
1
2
(x-1)2-2(或写成y=
1
2
x2-x-
3
2
);(4分)

(2)∵CA⊥AD,∠DAC=90°,(5分)
又∵∠DAB=45°,
∴∠CAB=45°;
令点C的坐标为(m,n),则有m+1=n,(6分)
∵点C在抛物线上,
∴n=
1
2
(m-1)2-2;(7分)
化简得m2-4m-5=0
解得m=5,m=-1(舍去),
故点C的坐标为(5,6);(8分)

(3)由(2)知AC=6


2
,而AD=2


2

∴DC=


AD2+AC2
=4


5

过A作AM⊥CD,
又∵
1
2
AC×AD=
1
2
DC×AM

∴AM=
24
4


5
=
6


5
5
,(9分)
又∵S△ADC=S△APD+S△APC
1
2
×AC×AD=
1
2
AP×d1+
1
2
AP×d2
,(11分)
d1+d2=
24
AP
24
AM
=24×
5
6


5
=4


5

即此时d1+d2的最大值为4


5
.(12分)
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点.若OA、OB(OA<OB)的长分别是方程x2-4x+3=0的两根】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,在梯形ABCD中,已知ABCD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为x轴,过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;
(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L;
(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标,只需说明理由)
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已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过(1,
21
4
),(2,
11
2
)两点,与x轴的两个交点的右边一个交点为点A,与y轴交于点B.
(1)求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象;
(2)求线段AB的中垂线的函数解析式.
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问题背景:
若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为:s=-x2+
1
2
x
(x>0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题:
若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
分析问题:
若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:y=2(x+
1
x
)
(x>0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.
解决问题:
借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(小)值.
(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数y=2(x+
1
x
)
(x>0)的图象:
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x1/41/31/21234
y
17
2
20
3
545
20
3
17
2
如图,抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A(-1,0),B两点,在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E,F两点,E在F的左侧,过E,F分别作x轴的垂线,垂足是M,N.
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)设BN=t,矩形EMNF的周长为C,求C与t的函数表达式;
(3)当矩形EMNF的周长为10时,将△ENM沿EN翻折,点M落在坐标平面内的点记为M",试判断点M"是否在抛物线上?并说明理由.
如图(1),在平面直角坐标系中二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(1,-2),B(3,-1)
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)请问在y轴上是否存在点P,使得S△ABC=S△ABP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)请在图(2)上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q,使得△QAB是等腰三角形?若存在,请判断点Q共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由(不用证明).