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题目
题型:不详难度:来源:
已知:如图,点A在y轴上,⊙A与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D(0,3)和点E(0,-1)
(1)求经过B、E、C三点的二次函数的解析式;
(2)若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P(s,t),与x轴交于点M,连接PA并延长与⊙A交于点Q,设Q点的纵坐标为y,求y关于t的函数关系式,并观察图形写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当y=0时,求切线PM的解析式,并借助函数图象,求出(1)中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围.
答案
(1)解法一:连接AC
∵DE为⊙A的直径,DE⊥BC
∴BO=CO
∵D(0,3),E(0,-1)
∴DE=|3-(-1)|=4,OE=1
∴AO=1,AC=
1
2
DE=2
在Rt△AOC中,AC2=AO2+OC2
∴OC=


3

∴C(


3
,0),B(


3
,0)
设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-


3
)(x+


3
)

则-1=a(0-


3
)(0+


3

解得a=
1
3

∴y=
1
3
(x-


3
)(x+


3
)=
1
3
x2-1(2分).
解法二:∵DE为⊙A的直径,DE⊥BC
∴BO=CO
∴OC2=OD•OE
∵D(0,3),E(0,-1)
∴DO=3,OE=1
∴OC2=3×1=3
∴OC=


3

∴C(


3
,0),B(-


3
,0)
以下同解法一;

(2)解法一:过点P作PF⊥y轴于F,过点Q作QN⊥y轴于N
∴∠PFA=∠QNA=90°,F点的纵坐标为t
N点的纵坐标为y
∵∠PAF=∠QAN,PA=QA
∴△PFA≌△QNA
∴FA=NA
∵AO=1
∴A(0,1)
∴|t-1|=|1-y|
∵动切线PM经过第一、二、三象限
观察图形可得1<t<3,-1<y<1.
∴t-1=1-y.
即y=-t+2.
∴y关于t的函数关系式为y=-t+2(1<t<3)(5分)
解法二:(i)当经过一、二、三象限的切线PM运动到使得Q点与C点重合时,y=0
连接PB
∵PC是直径
∴∠PBC=90°
∴PB⊥x轴,
∴PB=t.
∵PA=AC,BO=OC,AO=1,
∴PB=2AO=2,
∴t=2.
即t=2时,y=0.
(ii)当经过一、二、三象限的切线
PM运动使得Q点在x轴上方时,y>0
观察图形可得1<t<2
过P作PS⊥x轴于S,过Q作QT⊥x轴于T

则PSAOQT
∵点A为线段PQ的中点
∴点O为线段ST的中点
∴AO为梯形QTSP的中位线
∴AO=
QT+PS
2

∴1=
y+t
2

∴y=-t+2.
∴y=-t+2(1<t<2).
(iii)当经过一、二、三象限的切线PM运动使得Q点在x轴下方时,y<0,观察图形可得2<t<3
过P作PS⊥x轴于S,过Q作QT⊥x轴于T,设PQ交x轴于R
则QTPS
∴△QRT△PRS
QT
PS
=
QR
PR

设AR=m,则
-y
t
=
2-m
2+m
&&(1)
又∵AO⊥x轴,
∴AOPS
∴△ROA△RSP
AO
PS
=
RA
RP

1
t
=
m
2+m
&&(2)
由(1)、(2)得y=-t+2
∴y=-t+2(2<t<3)
综上所述:y与t的函数关系式为y=-t+2(1<t<3)(5分)

(3)解法一:当y=0时,Q点与C点重合,连接PB
∵PC为⊙A的直径
∴∠PBC=90°
即PB⊥x轴
∴s=-


3

将y=0代入y=-t+2(1<t<3),得0=-t+2
∴t=2∴P(-


3
,2)
设切线PM与y轴交于点I,则AP⊥PI
∴∠API=9
在△API与△AOC中
∵∠API=∠AOC=90°,∠PAI=∠OAC
∴△API△AOC
AP
AO
=
AI
AC

∴I点坐标为(0,5)
设切线PM的解析式为y=kx+5(k≠0),
∵P点的坐标为(-


3
,2)

∴2=-


3 k+5.
解得k=


3

∴切线PM的解析式为y=


3
x+5(7分)
设切线PM与抛物线y=
1
3
x2-1交于G、H两点





y=
1
3
x2-1
y=


3
x+5

可得x1=
3


3
-3


11
2
x2=
3


3
+3


11
2

因此,G、H的横坐标分别为
3


3
-3


11
2
3


3
+3


11
2

根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是
3


3
-3


11
2
<x<
3


3
+3


11
2
(9分)
解法二:同(3)解法一
可得P(-


3
,2)
∵直线PM为⊙A的切线,PC为⊙A的直径
∴PC⊥PM
在Rt△CPM与Rt△CBP中
cos∠PCM=
PC
CM
=
CB
PC

∵CB=2


3
,PC=4
∴CM=
PC2
CB
=
16
2


3
=
8


3
3

设M点的坐标为(m,0),
则CM=


3
-m=
8


3
3

∴m=-
5


3
3

即M(-
5


3
3
,0).
设切线PM的解析式为y=kx+b(k≠0),





0=-
5


3
3
k+b2=-


3
k+b.
解得





k=


3
b=5

∴切线PM的解析式为y=


3
x+5(7分)
以下同解法一.
核心考点
试题【已知:如图,点A在y轴上,⊙A与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D(0,3)和点E(0,-1)(1)求经过B、E、C三点的二次函数的解析式;(2)若经过第一、二】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,将OA=8,AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为______;用含t的式子表示点P的坐标为______;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<8),并求当t为何值时,S有最大值?若有,求出这个最大值;
(3)试探究:在上述运动过程中,是否存在某一个时刻,△OPM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线的顶点坐标为(
5
2
,-
27
16
)
,且经过点C(1,0),若此抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴的交点为点A,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为每秒1个单位,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求此抛物线的解析式并求出P点的坐标(用t表示);
(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变点Q的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出此时Q点运动的速度和此时t的值.
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如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
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(6999•重庆)如的,二次函数y=96+29+c的的象与9轴只有一个公共点P,与y轴的交点为Q.过点Q的直线y=69+m与9轴交于点A,与这个二次函数的的象交于另一点2,若S△2PQ=3S△APQ,求这个二次函数的解析式.
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