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题目
题型:不详难度:来源:
如图,点A在抛物线y=
1
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x2上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B,延长AO,BO分别与抛物线y=-
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x2相交于点C,D,连接AD,BC,设点A的横坐标为m,且m>0.
(1)当m=1时,求点A,B,D的坐标;
(2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直;
(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论.
答案
(1)∵点A在抛物线y=
1
4
x2上,且x=m=1,
∴A(1,
1
4
),(1分)
∵点B与点A关于y轴对称,
∴B(-1,
1
4
).(2分)
设直线BD的解析式为y=kx,
∴k=-
1
4

∴y=-
1
4
x.(3分)
解方程组





y=-
1
4
x
y=-
1
8
x2

得D(2,-
1
2
).(4分)

(2)当四边形ABCD的两对角线互相垂直时,
由对称性得直线AO与x轴的夹角等于45°
所以点A的纵、横坐标相等,(5分)
这时,
设A(a,a),代入y=
1
4
x2
得a=4,
∴A(4,4),
∴m=4.
即当m=4时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直.(7分)

(3)线段CD=2AB.(8分)
证明:∵点A在抛物线y=
1
4
x2,且x=m,
∴A(m,
1
4
m2),
得直线AO的解析式为y=
m
4
x,
解方程组





y=
m
4
x
y=-
1
8
x2

得点C(-2m,-
1
2
m2
)(9分)
由对称性得点B(-m,
1
4
m2),D(2m,-
1
2
m2),(10分)
∴AB=2m,CD=4m,
∴CD=2AB.(11分)
核心考点
试题【如图,点A在抛物线y=14x2上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B,延长AO,BO分别与抛物线y=-18x2相交于点C,D,连接AD,BC,设点A的横坐标】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,英华学校准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃,现有长为24m的篱笆,一面靠墙(墙长为10m),设花圃宽AB为x(m),面积为S(m2).
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少;
(3)能围出比45m2更大的花圃吗?若能,求出最大的面积;若不能,请说明理由.
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如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=-
3
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x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数y=
1
8
x2+bx+c
的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
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如图,关于x的二次函数y=x2-2mx-m-2的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x1<0<x2),与y轴交于C点
(1)当m为何值时,AC=BC;
(2)当∠BAC=∠BCO时,求这个二次函数的表达式.
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宁波市土地利用现状通过国土资源部验收,我市在节约集约用地方面已走在全国前列.1996---2004年,市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩,相应的年GDP从295亿元增加到985亿.宁波市区年GDPy(亿元)与建设用地总量x(万亩)之间存在着如图所示的一次函数关系.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩,如果这些土地按以上函数关系式开发使用,那么2005年市区可以新增GDP多少亿元?
(3)按以上函数关系式,我市年GDP每增加1亿元,需增建设用地多少万亩?(精确到0.001万亩).
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如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0),B(0,2)抛物线y=ax2+ax-2经过点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ为正方形?若存在,求点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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