题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax²+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴点B（10，5），C（12，0），
∴

100a+10b=5 144a+12b=0

，
解得

a=- 1 4 b=3

，
∴抛物线的函数表达式为y=-

1

4

x²+3x；

（2）根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

52+122

=13，
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO=

CQ

CP

=

OC

AC

，
即

t

13-2t

=

12

13

，
解得t=

156

37

，
②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=

CP

CQ

=

OC

AC

，
即

13-2t

t

=

12

13

，
解得t=

169

38

，
综上所述，t为

156

37

秒或

169

38

秒时，△PQC是直角三角形；

（3）抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-

3

2×(- 1 4 )

=6，
①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6-12=-6，
代入抛物线解析式得，y=-

1

4

×（-6）²+3×（-6）=-27，
此时点M的坐标为（-6，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
∴点N的坐标为（6，-32）；
（ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6+12=18，
代入抛物线解析式得，y=-

1

4

×18²+3×18=-27，
此时点M的坐标为（18，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
∴点N的坐标为（6，-22）；
②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
∴点M也在抛物线对称轴上，
∴点M为抛物线的顶点，
∵y=-

1

4

x²+3x=-

1

4

（x-12x+36）²+9=-

1

4

（x-6）²+9，
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
∴点P的坐标为（6，

5

2

），
∴点N的纵坐标为：2×

5

2

-9=-4，
∴点N（6，-4）；
综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．