当前位置:初中试题 > 数学试题 > 二次函数的应用 > 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴相交于点C.连接AC,BC,A(-3,0),C(0,3),且当x=-4和x=2时二...
题目
题型:不详难度:来源:
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴相交于点C.连接AC,BC,A(-3,0),C(0,


3
),且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.
①当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
②抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B、N、Q为顶点的三角形与△A0C相似?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
③当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,得到△PMN.并记△PMN与△AOC的重叠部分的面积为S.求S与t的函数关系式.
答案
(1)∵当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等,
∴抛物线对称轴:x=-
b
2a
=-1,即b=2a;
由C(0,


3
)得:c=


3

将A(-3,0)代入y=ax2+2ax+


3
(a≠0)中,得:
9a-6a+


3
=0,a=-


3
3

∴抛物线的解析式:y=-


3
3
x2-
2


3
3
x+


3


(2)由(1)的抛物线解析式知:A(-3,0)、B(1,0)、C(0,


3
),则:
OA=3,OB=1,OC=


3
,即 OC2=OA•OB,又OC⊥AB,则△ABC是直角三角形,且∠CAB=30°,∠ABC=60°;

①△BMN中,BM=BN=t,∠NBM=60°,即△BNM是等边三角形;
由于△PMN由△BMNA翻转所得,所以△PMN也是等边三角形,四边形PNBM是菱形;
∴PNAB(如题干图),得:
PN
AB
=
CN
BC
,代入数据,有:
t
4
=
2-t
2
,解得:t=
4
3

由tan∠CAO=


3
3
、C(0,


3
)得,直线AC:y=


3
3
x+


3

当y=t•sin60°=
2


3
3
时,


3
3
x+


3
=
2


3
3
,x=-1
即 P(-1,
2


3
3
);
综上,B点恰好落在AC边上的P处时,t=
4
3
,P(-1,
2


3
3
).

②∵△AOC是一个含30°角的直角三角形,
∴若以B、N、Q为顶点的三角形与△A0C相似,那么△BNQ也必须是一个含30°角的直角三角形.
分三种情况讨论:
Ⅰ、∠QNB=90°、∠BQN=30°(如②-Ⅰ图);
∵∠ABC=∠Q1BN=60°,∴点Q1在x轴上,即Q1(-1,0);
Ⅱ、∠QBN=90°、∠BQN=30°(如②-Ⅱ图);
此时BQ2AC,设直线BQ2:y=


3
3
x+b,代入B(1,0),得:b=-


3
3

∴直线BQ2:y=


3
3
x-


3
3
,Q2(-1,-
2


3
3
);
Ⅲ、∠QNB=90°、∠QBN=30°(如②-Ⅲ图);
此时N、C重合,点Q3应在①的P点处,由①的计算结果知:
Q3C=
4
3
•sin60°=
2


3
3
,而BC=2,即∠CQ3B=60°,符合条件;
即 Q3(-1,
2


3
3
);
综上,符合条件的Q点的坐标为:Q1(-1,0)、Q2(-1,-
2


3
3
)、Q3(-1,
2


3
3
).

③当点P落在y轴上时,
PN
OB
=
CN
BC
,即
t
1
=
2-t
2
,解得:t=
2
3

当点M、O重合时,t=OB=1;
当点P落在AC上时,由①知,t=
4
3

Ⅰ、当0<t≤
2
3
时,△PMN和△AOC不重合,即S=0;
Ⅱ、当
2
3
<t≤1时(如③-Ⅱ图),由
GN
OB
=
CN
CB
可求得:GN=1-
t
2
,PG=PN-GN=t-(1-
t
2
)=
3t
2
-1;
S=S△PGH=
1
2
×(
3t
2
-1)×(
3t
2
-1)


3
=


3
2
3t
2
-1)2
Ⅲ、当1<t≤
4
3
时(如③-Ⅲ图);
由Ⅱ知,GN=1-
t
2
,GH=


3
GN=


3
(1-
t
2
),S△GHN=
1
2
×(1-
t
2
)×


3
(1-
t
2
)=


3
8
t2-


3
2
t+


3
2

S=S△PMN-S△GHN=S△BMN-S△GHN=
1
2
×t×


3
2
t-(


3
8
t2-


3
2
t+


3
2
)=


3
8
t2+


3
2
t-


3
2

Ⅳ、当
4
3
<t≤2时(如③-Ⅳ图);
同上,可求得S△PDE=


3
2
3
2
t-2)2=
9


3
8
t2-3


3
t+2


3
、S△GHN=


3
8
t2-


3
2
t+


3
2
、S△PMN=


3
4
t2
S=S△PMN-S△PDE-S△GHN=-


3
t2+
7


3
2
t-
5


3
2

综上,S=





0(0<t≤
2
3
)


3
2
(
3t
2
-1)2(
2
3
<t≤1)


3
8
t2+


3
2
t-


3
2
(1<t≤
4
3
)
-


3
t2+
7


3
2
t-
5


3
2
(
4
3
<t≤2)

核心考点
试题【如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴相交于点C.连接AC,BC,A(-3,0),C(0,3),且当x=-4和x=2时二】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,已知点A的坐标为(2,2),点B、C在y轴上,BC=8,AB=AC,直线AB与x轴相交于点D.
(1)求点C、D的坐标;
(2)求图象经过A、C、D三点的二次函数解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,直线y=


3
3
x+b
经过点B(-


3
,2),且与x轴交于点A.将抛物线y=
1
3
x2
沿x轴作左右平移,记平移后的抛物线为C,其顶点为P.
(1)求∠BAO的度数;
(2)直线AB交抛物线y=
1
3
x2
的右侧于点D,问点B是AD中点吗?试说明理由;
(3)抛物线C与y轴交于点E,与直线AB交于两点,其中一个交点为F.当线段EFx轴时,求平移后的抛物线C对应的函数关系式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线y=
1
2
x+4
的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知:函数y=-
1
4
x2+x+a的图象的最高点在x轴上.
(1)求a;
(2)如图所示,设二次函数y=-
1
4
x2+x+a图象与y轴的交点为A,顶点为B,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点C关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=-
1
4
x2+x+a上?若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并且与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求这个二次函数解析式;
(2)设D为线段OC上的点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.