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题目
题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=-
1
8
x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且抛物线的对称轴为直线x=1,设∠ABC=α,且cosα=
4
5

(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)动点P从点A出发,沿A→B→C方向,向点C运动;动点Q从点B出发,沿射线BC方向运动.若P、Q两点同时出发,运动速度均为1个单位长度/秒,当点P到达点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
①试求△APQ的面积S与t之间的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
②在运动过程中,是否存在这样的t的值,使得△APQ是以AP为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴-
b
2a
=1,∴b=
1
4
.∴y=-
1
8
x2+
1
4
x+c;
∵∠ABC=α,且cosα=
4
5
.∴tanα=
3
4

∴BO=
4
3
C,CO=c,
∴B(
4
3
c,0).
代入解析式0=-
1
8
×
16
9
c2
+
1
4
×
4
3
c+c,
∴c=6,
∴y=-
1
8
x2+
1
4
x+6;

(2)①令y=0,x2-2x-48=0,
x1=8,x2=-6,
∴A(-6,0),B(8,0),C(0,6);
如图1,0<t≤14,
s=
1
2
3
5
t=
3
10
t2
如图2,
14≤t≤24,
∵PQ=AB=6+8=14,
AH=
3
5
AB=
42
5

∴S=
1
2
×14×
42
5
=
294
5

∴S=





3
10
t2(0<t≤14)
294
5
(14≤t≤24)

②如图3,0<t≤14,
当AP=AQ,
∴AP2=AQ2
t2=(
3
5
t)2+(14-
4
5
t)2
t=
35
4

当AP=PQ,
AP2=PQ2
t2=(
3
5
t)2+[
4
5
t-(14-
4
5
t)]2
解得:t=14或t=
70
13
(不合题意舍去),
如图4,14≤t≤24,
AP=AQ,
AP2=AQ2
∴AP2=PQ2
[
3
5
(t-14)]2+[14-(t-14)×
4
5
]2=(
3
5
t)2
+(14-
4
5
t)2
t=
91
5

AP=PQ,
AP2=PQ2
[
3
5
(t-14)]2+[14-(t-14)×
4
5
]2=142
∴t=14或t=
182
5
(不合题意舍去),
∴综上所述:t=
35
4
,t=
91
5
或t=14时,△APQ是以AP为一腰的等腰三角形.
核心考点
试题【如图,抛物线y=-18x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且抛物线的对称轴为直线x=1,设∠ABC=α,且cosα=45.(1)求这条抛物线的函数关】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知抛物线y=


3
3
x2-
4


3
3
x+


3
与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点(C在B的左边).
(1)过A、O、B三点作⊙M,求⊙M的半径;
(2)点P为弧OAB上的动点,当点P运动到何位置时△OPB的面积最大?求出此时点P的坐标及△OPB的最大面积.
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已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.
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如图,在直角坐标系中,点O为原点,直线y=kx+b与x轴交于点A(3,0),与y轴的正半轴交于点B,tan∠OAB=


3

(1)求这直线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转60°后,点B落到点C的位置,求以点C为顶点且经过点A的抛物线的解析式;
(3)设(2)中的抛物线与x轴的另一个交点为点D,与y轴的交点为E.试判断△ODE是否与△OAB相似?如果认为相似,请加以证明;如果认为不相似,也请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,以点0′(-2,-3)为圆心,5为半径的圆交x轴于A、B两点,过点B作⊙O′的切线,交y轴于点C,过点0′作x轴的垂线MN,垂足为D,一条抛物线(对称轴与y轴平行)经过A、B两点,且顶点在直线BC上.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)设抛物线与y轴交于点P,在抛物线上是否存在一点Q,使四边形DBPQ为平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在AB位置时,水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为(  )
A.y=
25
4
x2
B.y=-
25
4
x2
C.y=-
4
25
x2
D.y=
4
25
x2

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