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题目
题型:不详难度:来源:
如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上OB=


3
,∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折痕为BE.
(1)求点E和点D的坐标;
(2)求经过O、D、A三点的二次函数解析式;
(3)设直线BE与(2)中二次函数图象的对称轴交于点F,M为OF中点,N为AF中点,在x轴上是否存在点P,使△PMN的周长最小,若存在,请求出点P的坐标和最小值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)据题意可得∠1=
1
2
∠ABO
,OB=BD=


3
,DE=OE,
∵Rt△AOB中,∠BAO=30°,
∴∠ABO=60°,OA=3,AB=2


3

∴∠1=30°,A(3,0),B(0,


3
).
Rt△EOB中,∵tan∠1=
OE
OB

OE


3
=


3
3

∴OE=1,∴E点坐标为(1,0);
过点D作DG⊥OA于G,易知D是AB的中点,且A(3,0),B(0,


3
),
则OG=
1
2
OA=1.5,DG=
1
2
OB=


3
2

故D(1.5,


3
2
).

(2)∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点,设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2);
据(1)得A点坐标为(3,0),
∴x1=0,x2=3,
把D点坐标(1.5,


3
2
)代入y=a(x-0)(x-3)
a=-
2


3
9

∴二次函数的解析式为y=-
2


3
9
x2+
2


3
3
x


(3)设直线BE的解析式为y=k1x+b1,把(0,


3
)和(1,0)分别代入y=k1x+b1
得:





k1=-


3
b1=


3

直线BE的解析式为y=-


3
x+


3

∵把x=1.5代入y=-


3
x+


3
得:y=-


3
2

F点坐标为(1.5,-


3
2
),M点坐标为(
3
4
,-


3
4
),N点坐标为(
9
4
,-


3
4
),
M点关于x轴对称的点的坐标为M"(
3
4


3
4
),
设直线M"N的解析式为y=k2x+b2,把(
3
4


3
4
)和(
9
4
,-


3
4
)分别代入y=k2x+b2
得:k2=-


3
3
b2=


3
2

∴直线M"N的解析式为y=-


3
3
x+


3
2

把y=0代入y=-


3
3
x+


3
2

x=
3
2

∴x轴上存在点P,使△PMN的周长最小,P点坐标为(
3
2
,0),PM=


(
3
2
-
3
4
)
2
+(0-


3
4
)
2
=


3
2
PN=


(
3
2
-
9
4
)
2
+(0-


3
4
)
2
=


3
2

∴△PMN周长=


3
2
+


3
2
+
3
2
=
3
2
+


3

核心考点
试题【如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上OB=3,∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,此时称该点(x,y)为整点,该函数的图象为整点抛物线(例如:y=x2+2x+2).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______(不必证明);
(2)请直接写出整点抛物线y=x2+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中(不包括边界)所含的整点个数有______个.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2


2

(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长.
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如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EFBD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
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如图,在平面直角坐标系中,已知OB=2,点A和点B关于N(0,-2)成中心对称,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P是x轴上的一动点,从点O出发沿射线OB方向运动,圆P半径为
3


2
4
,速度为每秒1个单位,试求几秒后圆P与直线AB相切;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
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