题目

题型：不详难度：来源：

如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）连结CA，CB，对称轴x=1与线段AB交于点D，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S_△PAB=

9

8

S_△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线的顶点为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
把点A（3，0）代入得：0=a（3-1）²+4，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点（3，0），B（0，3）代入得，

0=3k+b 3=b

，
解得

k=-1 b=3

，
∴直线的解析式为：y=-x+3；

（2）把x=1代入y=-x+3得：y=2，
则CD=4-2=2，
设对称轴x=1与x轴交于点H，
S_△CAB=

1

2

CD•OH+

1

2

CD•HA=

1

2

CD•OA=

1

2

×2×3=3；

（3）过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F，
设点P（x，-x²+2x+3），则点F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
S_△PAB=

1

2

PF•OA=

1

2

×3（-x²+3x）=-

3

2

x²+

9

2

x（0＜x＜3），
要使S_△PAB=

9

8

S_△CAB，
则有-

3

2

x²+

9

2

x=

9

8

×3，即4x²-12x+9=0，
解得：x₁=x₂=

3

2

，
当x=

3

2

时，y=-x²+2x+3=

15

4

，
∴点P的坐标为（

3

2

，

15

4

）．