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题目
题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线解析式及点D坐标;
(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(-1,0),B(4,0)两点,





a-b+2=0
16a+4b+2=0

解得:





a=-
1
2
b=
3
2

∴y=-
1
2
x2+
3
2
x+2;
当y=2时,-
1
2
x2+
3
2
x+2=2,解得:x1=3,x2=0(舍),
即:点D坐标为(3,2).

(2)A,E两点都在x轴上,AE有两种可能:
①当AE为一边时,AEPD,
∴P1(0,2),
②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,
可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等,
∴P点的纵坐标为-2,
代入抛物线的解析式:-
1
2
x2+
3
2
x+2=-2
解得:x1=
3+


41
2
,x2=
3-


41
2

∴P点的坐标为(
3-


41
2
,-2),(
3+


41
2
,-2)
综上所述:P1(0,2);P2
3-


41
2
,-2);P3
3+


41
2
,-2).

(3)存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方,设直线PQ交x轴于F,点P的坐标为(a,-
1
2
a2+
3
2
a+2),

①当P点在y轴右侧时(如图1),CQ=a,
PQ=2-(-
1
2
a2+
3
2
a+2)=
1
2
a2-
3
2
a,
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠COQ′=∠Q′FP=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,
∴△COQ′△Q′FP,
QC
CO
=
QP
FQ
a
2
=
1
2
a
2
-
3
2
a
QF

∴Q′F=a-3,
∴OQ′=OF-Q′F=a-(a-3)=3,CQ=CQ′=


CO2+OQ2
=


32+22
=


13

此时a=


13
,点P的坐标为(


13
-9+3


13
2
),
②当P点在y轴左侧时(如图2)此时a<0,-
1
2
a2+
3
2
a+2<0,CQ=-a,
PQ=2-(-
1
2
a2+
3
2
a+2)=
1
2
a2-
3
2
a,
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠CQ′O+∠OCQ′=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,∠COQ′=∠Q′FP=90°,
∴△COQ′△Q′FP,
QC
CO
=
QP
FQ
-a
2
=
1
2
a
2
-
3
2
a
QF
,Q′F=3-a,
∴OQ′=3,
CQ=CQ′=


CO2+OQ2
=


32+22
=


13

此时a=-


13
,点P的坐标为(-


13
-9-3


13
2
).
综上所述,满足条件的点P坐标为(


13
-9+3


13
2
),(-


13
-9-3


13
2
).
核心考点
试题【如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1)求抛】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
某幢建筑物,从10m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直,如图,如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面
40
3
m,则水流落地点B离墙的距离OB是(  )
A.2mB.3mC.4mD.5m

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在直角坐标系中,抛物线y=-
1
2
x2+mx-n与x轴交于A、B两点.与y轴交于C点.已知A、B两点都在x轴负半轴上(A左B右),△AOC与△COB相似,且tan∠CBO=4tan∠BCO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D.以D为圆心,作与x轴相切的圆,交y轴于M、N两点.求劣弧MN所对的弓形面积;
(3)在y轴上是否存在一点F,使得FD+FA的值最小,若存在,求出△ABF的面积,若不存在,说明理由.
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如图,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线y=-
2
3
x2+
8
3
x
上,B、C在x轴的正半轴上,且矩形始终在抛物线与x轴围成的区域里.
(1)设点A的横坐标为x,试求矩形的周长P关于变量x的函数表达式;
(2)当点A运动到什么位置时,相应矩形的周长最大?最大周长是多少?
(3)在上述这些矩形中是否存在这样一个矩形,它的周长为7?若存在,求出该矩形的各顶点的坐标;若不存在,说明理由.
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如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒


3
个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在x轴上.
(1)当t为何值时,点M与点O重合;
(2)求点P坐标和等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
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低碳经济作为新的发展模式,不仅是实现全球减排目标的战略选择,也是保证经济持续健康增长的良方.中国企业目前已经在多个低碳产品和服务领域取得世界领先地位,其中以可再生资源相关行业最为突出.某单位为了发展低碳经济,采取技术革新,让可再生产资源重新利用.从2011年1月1日开始,该单位每月再生资源处理量y(吨)与月份x之间成一次函数关系,如图所示.月处理成本p(元)与每月再生资源y(吨)满足的函数关系p=10y2-400y+14000.每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为2000元.
(1)求出y与x的函数关系式;按此规律,预计到2011年底,再生资源处理总量可达多少吨?
(2)在不改变新产品原定售价的基础上,该单位在哪个月获得的利润最大?最大利润是多少?
(3)随着人们对环保意识的增强,该单位需求的可再生资源数量受限.今年三、四月份再生资源处理量比二月份都减少了m%,该新产品的产量也随之减少,其售价都比原定售价增加了0.8m%.五月份,该单位得到国家科委的技术支持,使五月份的月处理成本比二月份降低了20%.如果该单位从三月份开始,在保持再生产资源处理量和新产品售价不变的情况下,五月份的利润与二月份利润保持一样.求m的值.(m的值精确到个位)
(参考数据:


99
≈9.950


101
≈10.05


102
≈10.10

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