题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴

a-b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得：

a=- 1 2 b= 3 2

∴y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；
当y=2时，-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-

1

2

x²+

3

2

x+2=-2
解得：x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3- 41

2

，
∴P点的坐标为（

3- 41

2

，-2），（

3+ 41

2

，-2）
综上所述：P₁（0，2）；P₂（

3- 41

2

，-2）；P₃（

3+ 41

2

，-2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2-（-

1

2

a²+

3

2

a+2）=

1

2

a²-

3

2

a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，

Q′C

CO

=

Q′P

FQ′

，

a

2

=

1 2 a2- 3 2 a

Q′F

，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=

CO2+OQ2

=

32+22

=

13

，
此时a=

13

，点P的坐标为（

13

，

-9+3 13

2

），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，-

1

2

a²+

3

2

a+2＜0，CQ=-a，
PQ=2-（-

1

2

a²+

3

2

a+2）=

1

2

a²-

3

2

a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，

Q′C

CO

=

Q′P

FQ′

，

-a

2

=

1 2 a2- 3 2 a

Q′F

，Q′F=3-a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=

CO2+OQ2

=

32+22

=

13

，
此时a=-

13

，点P的坐标为（-

13

，

-9-3 13

2

）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（

13

，

-9+3 13

2

），（-

13

，

-9-3 13

2

）．