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题目
题型:不详难度:来源:
如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒


3
个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在x轴上.
(1)当t为何值时,点M与点O重合;
(2)求点P坐标和等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
答案
(1)点M与点O重合.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABO=30°,∠BAO=60°.
由OB=12,
∴AB=8


3
,AO=4


3

∵△PON是等边三角形,
∴∠PON=60度.
∴∠AOP=30度.
∴AO=2AP,即4


3
=2


3
t,
解得t=2.
∴当t=2时,点M与点O重合.

(2)如图①,过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S,
可求得AQ=
1
2
AP=


3
t
2
,PS=QO=OA-AQ=4


3
-


3
t
2

QP=AQcos30°=


3
×


3
2
t
=
3
2
t.
∴点P坐标为(
3
2
t
,4


3
-


3
t
2
).
在Rt△PMS中,sin60°=
PS
PM

∴PM=(4


3
-


3
t
2
)÷


3
2
=8-t.

(3)(Ⅰ)当0≤t≤1时,见图②.
设PN交EF于点G,
∵PM过F点时,OD⊥ED,EDFO而D为OB的中点,
∴E是AB的中点,
∵EFOD,
∴F也是AO的中点,
∴△FMO≌△AFP,
∴∠FMO=∠PAF=60°,
则重叠部分为直角梯形FONG,
作GH⊥OB于点H.
∵∠GNH=60°,GH=2


3

∴HN=2.
∵MP=8-t,
∴BM=2MP=16-2t.
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t.
∴ON=MN-OM=8-t-(4-2t)=4+t.
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t.
∴S=
1
2
(2+t+4+t)×2


3
=2


3
t+6


3

∵S随t的增大而增大,
∴当t=1时,S最大=8


3

(Ⅱ)当1<t≤2时,见图③.
设PM交EF于点I,交FO于点Q,PN交EF于点G.
重叠部分为五边形OQIGN.
OQ=4


3
-2


3
t,FQ=2


3
-(4


3
-2


3
t)=2


3
t-2


3
,FI=


3
3
FQ=2t-2.
∴三角形QFI的面积=
1
2
(2


3
t-2


3
)(2t-2)=2


3
(t2-2t+1).
由(Ⅰ)可知梯形OFGN的面积=2


3
t+6


3

∴S=2


3
t+6


3
-2


3
(t2-2t+1)=-2


3
(t2-3t-2).
∵-2


3
<0,
∴当t=
3
2
时,S有最大值,S最大=
17


3
2

综上所述:当0≤t≤1时,S=2


3
t+6


3
;当1<t≤2时,S=-2


3
t2+6


3
t+4


3

17


3
2
>8


3

∴S的最大值是
17


3
2

核心考点
试题【如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
低碳经济作为新的发展模式,不仅是实现全球减排目标的战略选择,也是保证经济持续健康增长的良方.中国企业目前已经在多个低碳产品和服务领域取得世界领先地位,其中以可再生资源相关行业最为突出.某单位为了发展低碳经济,采取技术革新,让可再生产资源重新利用.从2011年1月1日开始,该单位每月再生资源处理量y(吨)与月份x之间成一次函数关系,如图所示.月处理成本p(元)与每月再生资源y(吨)满足的函数关系p=10y2-400y+14000.每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为2000元.
(1)求出y与x的函数关系式;按此规律,预计到2011年底,再生资源处理总量可达多少吨?
(2)在不改变新产品原定售价的基础上,该单位在哪个月获得的利润最大?最大利润是多少?
(3)随着人们对环保意识的增强,该单位需求的可再生资源数量受限.今年三、四月份再生资源处理量比二月份都减少了m%,该新产品的产量也随之减少,其售价都比原定售价增加了0.8m%.五月份,该单位得到国家科委的技术支持,使五月份的月处理成本比二月份降低了20%.如果该单位从三月份开始,在保持再生产资源处理量和新产品售价不变的情况下,五月份的利润与二月份利润保持一样.求m的值.(m的值精确到个位)
(参考数据:


99
≈9.950


101
≈10.05


102
≈10.10

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如图,已知点O为坐标原点,∠AOB=30°,∠B=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括O,B点)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?若存在,求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积;若不存在,请说明理由.
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已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2,且过点A(0,3).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标;
(3)如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M.问在这个一次函数图象上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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定义[a,b,c]为函数y=axw+bx+c的特征数,下面给出特征数为[wm,1-m,-1-m]的函数的一些结论:
①当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(
1
3
8
3
);
②当m>大时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
w

③当m<大时,函数在x>
1
时,y随x的增大而减我;
④当m≠大时,函数图象经过x轴上一一定点.
其1正确的结论有______.(只需填写序号)
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物业管理部门为了美化环境,在小区靠墙1五侧设计了五处长方形花圃(墙长25n),三边外围用篱笆围起,栽上蝴蝶花,共用篱笆x0n,
(1)设花圃1宽为x米,请你用含x1代数式表示花圃1长;
(2)花圃1面积能达到200n2吗?
(b)花圃1面积能达到250n2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(x)你能根据所学过1知识求出花圃1最大面积吗?此时,篱笆该怎样围?
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