题目
题型:不详难度:来源:
(1)写出点P的坐标;
(2)连接AP,如果△APB为等腰直角三角形,求a的值及点C、D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BC、AC、AD,点E(0,b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S,根据不同情况,分别用含b的代数式表示S,选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b为何值时,重叠部分的面积最大写出最大值.
答案
(2)因为△APB为等腰直角三角形,P点坐标为(2,-1)
所以AB=2,
所以A(1,0),B(3,0)
将A点坐标代入二次函数y=a(x-2)2-1得:
0=a(1-2)2-1,
所以a=1
所以二次函数为:y=x2-4x+3
所以C(0,3),
所以OC=OB,∠OBC=45°
又因为∠ABP=45°,
所以∠CBD=90°,∠BCO=45°,
所以△BCD为等腰直角三角形,
所以D(0,-3);
(3)①当0≤b<3时,旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为△CEM.
因为CE=C’E,
所以C点恰好在直线B′C′上,
CE=3-b,AC直线方程为:y=3-3x,
E(0,b)所以EM=
3-b |
3 |
所以重叠部分△CEM的面积为:
S=
1 |
2 |
3-b |
3 |
(3-b)2 |
6 |
②当-1<b<0时,旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为五边形EMANQ,
因为ED=ED′=EQ,
所以D’点恰好在直线BD上,DE=EQ=3+b,
所以Q(0,3+2b),D′(3+b,b),
CQ=3-(3+2b)=-2b,
AC直线方程为:y=3-3x,
AD直线方程为:y=3x-3,
D’Q直线方程为:y=3+2b-x,
所以EM=
3+b |
3 |
所以重叠部分五边形EMANQ的面积为:
S=S△ACD-S△CQN-S△EMD
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3+b |
3 |
=-
7b2 |
6 |
3 |
2 |
③当-3<b≤-1时,旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为四边形EMNQ;
因为ED=ED’=EQ,
所以D′点恰好在直线BD上,DE=EQ=3+b,
所以Q(0,3+2b),D′(3+b,b),
DQ=(3+2b)-(-3)=6+2b,
AD直线方程为:y=3x-3,
D′Q直线方程为:y=3+2b-x,
所以EM=
3+b |
3 |
3+b |
2 |
3(1+b) |
2 |
所以重叠部分四边形EMNQ的面积为:
S=S△DNQ-S△EMD=
1 |
2 |
3+b |
2 |
1 |
2 |
3+b |
3 |
(3+b)2 |
3 |
所以重叠部分的面积为:S=
|
当0≤b<3时,b=0时,S最大,且S最大=
3 |
2 |
当-1<b<0时,S=-
7b2 |
6 |
3 |
2 |
7 |
6 |
3 |
7 |
12 |
7 |
b=-
3 |
7 |
12 |
7 |
当-3<b≤-1时,b=-1时,S最大,且S最大=
4 |
3 |
综上所述:当b=-
3 |
7 |
12 |
7 |
核心考点
试题【如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P,与x轴交点为A、B,与y轴交点为C,连接BP并延长交y轴于点D.(1)写出点P的坐标】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求S与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)要想使花圃的面积最大,AB边的长应为多少米?
1 |
2 |
A. | B. | C. | D. |
(1)请在图中画出△A′B′C′,使得△A′B′C′与△ABC关于点P成中心对称;
(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A′B′C′的三个顶点,求此二次函数的关系式.
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