题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B，点B的坐标为（10，0），顶点M的坐标为（4，8），点P从点M出发，以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点运动；点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向B点运动，若P、Q同时出发，当其中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒钟．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，△APQ的面积是否有最大值？若有，请求出其最大值；若没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

答案

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+8，把B（10，0）代入得，
36a+8=0，解得a=-

2

9

，
∴抛物线的解析式为y=-

2

9

(x-4)2+8；

（2）由抛物线的对称性可知点A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，
∵△PAH∽△MAC得，

PH

MC

=

AP

AM

，

PH

8

=

10-t

10

，解得PH=8-

4

5

t，
∴s=

1

2

×2t×(8-

4

5

t)=-

4

5

t2+8t（0≤t≤6），
∵a=-

4

5

＜0，
∴s有最大值，当t=-

8

2×(- 4 5 )

=5时，s有最大值为20；

（3）由（2）得AP=10-t，PH=8-

4

5

t，AQ=2t，
由△PAH∽△MAC得AH：AC=AP：AM，即AH：6=（10-t）：10，AH=

3

5

（10-t），
∴QH=2t-AH=

13

5

t-6，PQ=

PH2+QH2

，
当AP=AQ时，t=

10

3

；
当AP=PQ时，t=

15

4

；
当AQ=PQ时，t=

50

17

．