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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B,点B的坐标为(10,0),顶点M的坐标为(4,8),点P从点M出发,以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点运动;点Q从点A出发,以每秒2个单位的速度沿AB向B点运动,若P、Q同时出发,当其中的一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒钟.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设△APQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,△APQ的面积是否有最大值?若有,请求出其最大值;若没有,请说明理由;
(3)当t为何值时,△APQ为等腰三角形?
答案
(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+8,把B(10,0)代入得,
36a+8=0,解得a=-
2
9

∴抛物线的解析式为y=-
2
9
(x-4)2+8


(2)由抛物线的对称性可知点A的坐标为(-2,0),过M作MC⊥x轴于点C,过P作⊥x轴于点H,则AC=6,MC=8,AM=10,
∵△PAH△MAC得,
PH
MC
=
AP
AM
PH
8
=
10-t
10
,解得PH=8-
4
5
t

s=
1
2
×2t×(8-
4
5
t)=-
4
5
t2+8t
(0≤t≤6),
a=-
4
5
<0,
∴s有最大值,当t=-
8
2×(-
4
5
)
=5时,s有最大值为20;

(3)由(2)得AP=10-t,PH=8-
4
5
t,AQ=2t,
由△PAH△MAC得AH:AC=AP:AM,即AH:6=(10-t):10,AH=
3
5
(10-t),
∴QH=2t-AH=
13
5
t-6,PQ=


PH2+QH2

当AP=AQ时,t=
10
3

当AP=PQ时,t=
15
4

当AQ=PQ时,t=
50
17
核心考点
试题【如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B,点B的坐标为(10,0),顶点M的坐标为(4,8),点P从点M出发,以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知过坐标原点的抛物线经过A(x1,0),B(x2,3)两点,且x1、x2是方程x2+5x+6=0两根(x1>x2),抛物线顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标;
(3)P是抛物线上的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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一个长方形的周长是8cm,一边长是xcm,则这个长方形的面积y与边长x的函数关系用图象表示为(  )
A.B.C.≈D.
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某网店以每件60元的价格购进一批商品,若以单价80元销售,每月可售出300件,调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件.
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)件的函数关系式;
(2)单价定为多少元时,每月销售该商品的利润最大?最大利润为多少?
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如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0)、B(-2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点P作PDAC,交BC于点D,连接CP.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当动点P运动到何处时,BP2=BD•BC;
(3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.
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已知抛物线y=x2-mx+m-2.
(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;
(2)若m是整数,抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点,求m的值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为A,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若m为坐标轴上一点,且MA=MB,求点M的坐标.
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