题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;
(2)若m是整数,抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点,求m的值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为A,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若m为坐标轴上一点,且MA=MB,求点M的坐标.
答案
因为△=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,(1分)
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点.(2分)
(2)因为关于x的方程x2-mx+m-2=0的根为x=
m±
| ||
2 |
m±
| ||
2 |
由m为整数,当(m-2)2+4为完全平方数时,此抛物线与x轴才有可能交于整数点.
设(m-2)2+4=n2(其中n为整数),(3分)
则[n+(m-2)][n-(m-2)]=4
因为n+(m-2)与n-(m-2)的奇偶性相同,
所以
|
或
|
解得m=2.
经过检验,当m=2时,方程x2-mx+m-2=0有整数根.
所以m=2.(5分)
(3)当m=2时,
此二次函数解析式为y=x2-2x=(x-1)2-1,
则顶点坐标为(1,-1).
抛物线与x轴的交点为O(0,0)、B(2,0).
设抛物线的对称轴与x轴交于点M1,则M1(1,0).
在直角三角形AM1O中,由勾股定理,得AO=
2 |
由抛物线的对称性可得,AB=AO=
2 |
又因为(
2 |
2 |
所以△ABO为等腰直角三角形.(6分)
则M1A=M1B.
所以M1(1,0)为所求的点.(7分)
若满足条件的点M2在y轴上时,
设M2坐标为(0,y),
过A作AN⊥y轴于N,连接AM2、BM2,则M2A=M2B.
由勾股定理,
即M2A2=M2N2+AN2;M2B2=M2O2+OB2,
即(y+1)2+12=y2+22.
解得y=1.
所以M2(0,1)为所求的点.(8分)
综上所述,满足条件的M点的坐标为(1,0)或(0,1).
核心考点
试题【已知抛物线y=x2-mx+m-2.(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;(2)若m是整数,抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点,求m的值;(3)在】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求河流宽度(备用数据:
2 |
(1)若特征数是[2,k-2]的一次函数为正比例函数,求k的值;
(2)设点A,B分别为抛物线y=(x+m)(x-2)与x,y轴的交点,其中m>0,且△OAB的面积为4,O为原点,求图象过A,B两点的一次函数的特征数.
(1)鸡场的面积能够达到32m2吗?若能,给出你的方案;若不能,请说明理由;
(2)鸡场的面积能够达到80m2吗?若能,给出你的方案;若不能,请说明理由.
(1)求点C的坐标;
(2)取点E(0,1),连接DE并延长交AB于P试猜想DF与AB之间的关系,并证明你的结论;
(3)将梯形ABCD绕点A旋转180°后成梯形AB′C′D′,求对称轴为直线x=3,且过A、B′两点的抛物线的解析式.
1 |
2 |
(1)求b与C的坐标;
(2)连接AC,求证:△AOC∽△COB;
(3)求过A,B,C三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式;
(4)在抛物线上是否存在一点P(不与C重合),使得S△ABP=S△ABC?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
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