题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-）和（m-b，m²-mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0。

（1）求c的值；
（2）设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁x₂的值；
（3）当-1≤x≤1时，设抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x₀，y₀），求这时|y₀|的最小值。

答案

解：（1）∵（0，-）在y=ax²+bx+c上，
∴-=a×0²+b×0+c，
∴ c=-；
（2）又可得n=-
∵ 点（m-b，m²-mb+n）在y=ax²+bx+c上，
∴ m²-mb-=a（m-b）²+b（m-b）-，
∴（a-1）（m-b）²=0，
若（m-b）=0，则（m-b， m²-mb+n）与（0，-）重合，与题意不合
∴ a=1，
∴抛物线y=ax²+bx+c，就是y=x²+bx-，
△=b²-4ac=b²-4×（-）＞0，
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0=ax²+bx+c的两个实数根，
∴由根与系数的关系，得x₁x₂=-；
（3）抛物线y=x²+bx-的对称轴为x=，最小值为，
设抛物线y=x²+bx-在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h，
①当<-1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y₀），
∴|H|=y₀=+b＞，
在x轴下方与x轴距离最大的点是（-1，y₀），
∴｜h｜=｜y₀｜=｜-b｜=b-＞，
∴｜H｜＞｜h｜，
∴这时｜y₀｜的最小值大于；
② 当-1≤≤0，即0≤b≤2时，
在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y₀），
∴｜H｜=y₀=+b≥，当b=0时等号成立，
在x轴下方与x轴距离最大点的是（），
∴｜h｜=｜｜=≥，当b=0时等号成立，
∴这时｜y₀｜的最小值等于；
③ 当0＜≤1，即-2≤b＜0时，
在x轴上方与x轴距离最大的点是（-1，y₀），
∴｜H｜=y₀=｜1+（-1）b-｜=｜-b｜=-b＞，
在x轴下方与x轴距离最大的点是（），
∴｜h｜=｜y₀｜=｜｜=＞，
∴ 这时｜y₀｜的最小值大于；
④ 当1＜，即b＜-2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（-1，y₀），∴｜H｜=-b＞，
在x轴下方与x轴距离最大的点是（1，y₀），∴｜h｜=｜+b｜=-（b+）＞，
∴｜H｜＞｜h｜，
∴这时｜y₀｜的最小值大于，
综上所述，当b=0，x₀=0时，这时｜y₀｜取最小值为|y₀|=。