题目

题型：不详难度：来源：

（2011•江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=　　，b=　　，顶点C的坐标为　　；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

答案

解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴．
设D（0，c），则．变形得c²﹣4c+3=0，解之得c₁=3，c₂=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM²=CM²．
设M（m，0），则（m+3）²=4²+（m+1）²，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k₁x+b₁，
则，解之得，．
∴直线CM的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得．
∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．
设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂，则，
解之得．
∴直线CF的解析式．
联立，解之得或（舍去）．
∴．
∴满足条件的点P坐标为或．

解析

略