题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(﹣2,0).问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解得:,
∴所求抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣x+4.
(2)设点Q的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.
由﹣x2﹣x+4=0,
得x1=2,x2=﹣4,
∴点B的坐标为(2,0),
∴AB=6,BQ=2﹣m,
∵QE∥AC,
∴△BQE∽△BAC,
∴,
即,
∴EG=(2﹣m),
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ
=BQ•CO﹣BQ•EG
=(2﹣m)[4﹣(2﹣m)]
=﹣(m+1)2+3
又∵﹣4≤m≤2,
∴当m=﹣1时,S△CQE有最大值3,此时Q(﹣1,0).
(3)存在.在△ODF中.
(ⅰ)若DO=DF,
∵A(﹣4,0),D(﹣2,0)
∴AD=OD=DF=2,
又在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
∴∠DFA=∠OAC=45°,
∴∠ADF=90°.
此时,点F的坐标为(﹣2,2)
由﹣x2﹣x+4=2,
得x1=﹣1+,x2=﹣1﹣,
此时,点P的坐标为:P(﹣1+,2)或P(﹣1﹣,2).
(ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M
由等腰三角形的性质得:OM=OD=1,
∴AM=3,
∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3,
∴F(﹣1,3)
由﹣x2﹣x+4=3,
得x1=﹣1+,x2=﹣1﹣,
此时,点P的坐标为:P(﹣1+,3)或P(﹣1﹣,3).
(ⅲ)若OD=OF,
∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,
∴AC=4,
∴点O到AC的距离为2,而OF=OD=2<2,
∴此时不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,
综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,
所求点P的坐标为:P(﹣1+,2)或P(﹣1﹣,2)或P(﹣1+,3)或P(﹣1﹣,3).
解析
核心考点
试题【(2011•广元)如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形?若存在,请在图中画出所有符合条件的P点,然后直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△ABC的铅垂高CD及S△ABC
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使,
若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求该抛物线所参应的函数表达式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2).
①当t=时,判断点P时否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的图形面积为S,试部S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
▲ .
如图8,在平面直角坐标系xOy中,半径为的与x轴交于、两点,且点C在x轴的上方.
(1)求圆心C的坐标;
(2)已知一个二次函数的图像经过点、B、C,求这二次函数的解析式;
(3)设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点M的坐标.
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