题目

题型：不详难度：来源：

（11分）如图1，已知抛物线经过原点0和x轴上另一个点E,顶点M的坐标是（2，4）; 矩形ABCD的顶点A与点0重合，AD、AB分别在x轴和y轴上，且AD="2" ，AB=3.
（1）求该抛物线所参应的函数表达式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2）.
①当t=时，判断点P时否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的图形面积为S，试部S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

答案

解:(1)所求抛物线的顶点坐标为(2,4),故可设其函数表达式为y=a(x-2)²+4…1分
又抛物线过点(0,0),得0=a(0-2)²+4,解得:a= -1
所以,该抛物线的函数表达式为: y=-(x-2)²+4即y=-x²+4x.           ………………3分
(2)①点P不在直线ME上.                                       ………………4分
由抛物线的对称性可知:点E的坐标为(4,0).
又点M的坐标为(2,4),设直线ME的表达式为y=kx+b,则有
,所以直线ME的表达式为y="-2x+8.        " ………………6分
由已知条件可知,当t=时,OA=AP=∴点P的坐标为(,).
∵点P的坐标不满足直线ME的函数表达式y=-2x+8,
∴点P不在直线ME上.                                         ………………7分
②S存在最大值,理由如下:                                           ………8分
由题意可知: OA=AP=t,又∵点A在x轴的非负半轴上,点N在抛物线y=-x²+4x上,
∴点P与点N的坐标分别为(t,t)、(t,-t²+4t), ∴AN=-t²+4t(0≤t≤3),
∴PN=AN-AP=-t²+4t-t=-t²+3t.
(i)当PN=0即t=0或t=3时,以点P、N、C、D为顶点的图形是三角形,此三角形的高是AD,底边为CD, ∴S=.                    ………………9分
(ii)当PN≠0时, 以点P、N、C、D为顶点的图形是四边形.
∴.
所以当t=时,S_最大值=.
所以,当t=时,以点P、N、C、D为顶点的图形面积有最大值,其最大值为.………11分

解析

略