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题目
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(11分)如图1,已知抛物线经过原点0和x轴上另一个点E,顶点M的坐标是(2,4); 矩形ABCD的顶点A与点0重合,AD、AB分别在x轴和y轴上,且AD="2" ,AB=3.
(1)求该抛物线所参应的函数表达式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2).
①当t=时,判断点P时否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的图形面积为S,试部S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)所求抛物线的顶点坐标为(2,4),故可设其函数表达式为y=a(x-2)2+4…1分
又抛物线过点(0,0),得0=a(0-2)2+4,解得:a= -1
所以,该抛物线的函数表达式为: y=-(x-2)2+4即y=-x2+4x.           ………………3分
(2)①点P不在直线ME上.                                       ………………4分
由抛物线的对称性可知:点E的坐标为(4,0).
又点M的坐标为(2,4),设直线ME的表达式为y=kx+b,则有
,所以直线ME的表达式为y="-2x+8.        " ………………6分
由已知条件可知,当t=时,OA=AP=∴点P的坐标为(,).
∵点P的坐标不满足直线ME的函数表达式y=-2x+8,
∴点P不在直线ME上.                                         ………………7分
②S存在最大值,理由如下:                                           ………8分
由题意可知: OA=AP=t,又∵点A在x轴的非负半轴上,点N在抛物线y=-x2+4x上,
∴点P与点N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t), ∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴PN=AN-AP=-t2+4t-t=-t2+3t.
(i)当PN=0即t=0或t=3时,以点P、N、C、D为顶点的图形是三角形,此三角形的高是AD,底边为CD, ∴S=.                    ………………9分
(ii)当PN≠0时, 以点P、N、C、D为顶点的图形是四边形.
.
所以当t=时,S最大值=.
所以,当t=时,以点P、N、C、D为顶点的图形面积有最大值,其最大值为.………11分
解析

核心考点
试题【(11分)如图1,已知抛物线经过原点0和x轴上另一个点E,顶点M的坐标是(2,4); 矩形ABCD的顶点A与点0重合,AD、AB分别在x轴和y轴上,且AD="2】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
抛物线向左平移2个单位,向上平移1个单位后的抛物线的解析式是  
 
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(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分、第(3)小题4分)
如图8,在平面直角坐标系xOy中,半径为与x轴交于两点,且点C在x轴的上方.

(1)求圆心C的坐标;
(2)已知一个二次函数的图像经过点、B、C,求这二次函数的解析式;
(3)设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点M的坐标.
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(2011•潼南县)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
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已知:如图,在□ EFGH中,点F的坐标是(-2,-1),∠EFG=45°.
(1)求点H的坐标;
(2)抛物线经过点E、G、H,现将向左平移使之经过点F,得到抛物线,求抛物线的解析式;
(3)若抛物线与y轴交于点A,点P在抛物线的对称轴上运动.请问:是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(本题满分5分)一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(1).现测得,当水面宽AB =1.6 m时,涵洞顶点O与水面的距离为2.4 m.ED离水面的高FC="1.5" m,求涵洞ED宽是多少?是否会超过1 m?(提示:设涵洞所成抛物线为
 
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