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题目
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如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为         顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周 长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
     
答案
解:(1)
(2)在中,

设点的坐标为,其中
∵顶点
∴设抛物线解析式为
①当时,

解得(舍去);


解得
抛物线的解析式为
②当时,

解得(舍去).
③当时,,这种情况不存在.
综上所述,符合条件的抛物线解析式是
(3)存在点,使得四边形的周长最小.
作点关于轴的对称点,作点关于轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于点,则点就是所求点.




,此时四边形的周长最小值是
解析
(1)由轴对称的性质,可知∠FBD=∠ABD,FB=AB,可得四边形ABFD是正方形,则可求点E、F的坐标;
(2)已知抛物线的顶点,则可用顶点式设抛物线的解析式.因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点,而顶角和底边都是惟一的,所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类,可分别以E、F、P为顶角顶点进行分类计算.
核心考点
试题【如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
在直角坐标系中,有以A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)为顶点的正方形,设它在折线上侧部分的面积为S.当时,S=   ▲  ;当为任意实数时,面积S的最大值为   ▲  
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已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.
(1)如图①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O"恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;
(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.若点P是边EF或边FG上的任意一点,求证四条线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形;
(3)如图②,正方形EFGH向左平移个单位长度时,正方形EFGH上是否存在一点P(包括正方形的边界),使得四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形?如果存在,请求出的取值范围.
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如图,已知抛物线经过A(3,0)、B(0,4)
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若抛物线与轴的另一个交点为C,求点C关于直线AB的对称点的坐标;
(3)若点C是第二象限内一点,以点D为圆心的圆分别与轴、轴、直线AB相切于点EFH,问在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得的值最大?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。
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如图,经过原点的抛物线轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。
小题1:当时,求点A的坐标及BC的长;
小题2:当时,连结CA,问为何值时
小题3:过点P作,问是否存在,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的的值,并定出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由。
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如图,抛物线与两坐标轴的交点分别为(-1,0),(2,0),(0,2),则当时,自变量x的取值范围是( ▲ )
A.B.C.D.

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