题目

题型：不详难度：来源：

若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x₁,x₂，且x₁≠x₂，有下列结论：
①x₁=2，x₂=3；   ②；
③二次函数y=（x－x₁）（x－x₂）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【   】

A．0

B．1

C．2

D．3

答案

C

解析

①∵一元二次方程实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁=2，x₂=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x²－5x＋6－m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x₁、x₂，∴△=b²－4ac=（－5）²－4（6－m）=4m＋1＞0，
解得：。故结论②正确。
③∵一元二次方程x²－5x＋6－m=0实数根分别为x₁、x₂，∴x₁＋x₂=5，x₁x₂=6－m。
∴二次函数y=（x－x₁）（x－x₂）+m=x²－（x₁＋x₂）x＋x₁x₂＋m=x²－5x＋（6－m）＋m
=x²－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C。