题目

题型：不详难度：来源：

如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。

（1）求二次函数的解析式；
（2）点在轴正半轴上，且，求的长；
（3）点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。
① 点在轴右侧，且（点与点对应），求点的坐标；
② 若的半径为，求点的坐标。

答案

（1）（2）3/2（3）①或②或

解析

解：（1）∵二次函数的图像交轴于
∴设该二次函数的解析式为：            ………………1分
又二次函数的图像交轴于
将代入，得
解得，                                            ………………2分
∴抛物线的解析式为，即     ………………3分
（2）设，则
在中，
由勾股定理，得                         ………………4分
解得，，即                                ………………5分
（3）① ∵，点与点对应
∴
情形1：如图，当在点下方时
∵
∴轴，∴
点在二次函数图像上
∴                                           ………………6分
解得（舍去）或，∴                 ………………7分
情形2：如图，当在点上方时
∵
由（2）得，为直线与抛物线的另一交点
设直线的解析式为
把的坐标代入，得
解得，，∴                             ………………8分
由，解得，（舍去）或
此时，∴                              ………………9分
∴点的坐标为或
②以为圆心的圆与直线相切，则点到直线的距离即为圆半径。因为同时也在抛物线上，因此利用平行线间距离处处相等的性质，先在轴上找到与直线距离为的点，过点作与直线平行的直线，根据平行直线的解析式中相等的性质确定直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求得坐标。
在轴上取一点，过点作于点，使
∵
∴，∴
∴，解得
∴或
过点作，交抛物线于点
设直线的解析式为，将代入可得，，解得
∴设直线的解析式为，将或代入可得，
或，解得或
则直线的解析式为或
当时，，
，方程无实数解                       ………………10分
当时，，
解得
∴点坐标为或……………12分