题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x²＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）y=－x²－3x＋4，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）（3）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（，3）或（，3）或（，2）或（，2）

解析

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。
∵抛物线y=－x²＋bx＋c经过A、B两点，
∴，解得 。
∴抛物线解析式为y=－x²－3x＋4。
令y=0，得－x²－3x＋4=0，解得x₁=－4，x₂=1，
∴C（1，0）。
（2）如图1，
设D（t，0）。
∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴E（t，t＋4），P（t，－t²－3t＋4）。
PE=y_P－y_E=－t²－3t＋4－t－4=－t²－4t=－（t+2）²+4。
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。
（3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴NH=AH=4－m，∴y_Q=4－m。
又M为OA中点，∴MH=2－m。
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴y_Q=4－m=3。
由－x_Q²－3x_Q＋4=3，解得。
∴点Q坐标为（，3）或（，3）。
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN²=NH²＋MH²，即2²=（4－m）²＋（2－m）²，
化简得m²－6m＋8=0，解得：m₁=2，m₂=4（不合题意，舍去）。
∴y_Q=2，由－x_Q²－3x_Q＋4=2，解得。
∴点Q坐标为（，2）或（，2）。
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON²=NH²＋OH²，即2²=（4－m）²＋m²，
化简得m²－4m＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（，3）或（，3）或（，2）或（，2）。
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。
（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。
（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。