题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.

答案

解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则：
解得
∴ 此抛物线的解析式为
（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.
∵抛物线的解析式可变形为
∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.
设直线AC的解析式为,
则有，解得.
∴ 直线AC的解析式为
当x=4时，
∴点E的坐标为（4，4），
∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）
设直线FC的解析式为,
则有，解得.
∴ 直线AC的解析式为
∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.
当y=6时，则有解得x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又NF=NF
∴△ANF≌△MNF
∴∠CFE=∠AFE
（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）
∴
∵又A的坐标为（0，6），则，
又DF=6，
若△AFP∽△DEF
∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△AFP1∽△FCD
则,即,解得P1A=8.
∴O P1=8－6=2
∴P1的坐标为（0，－2）
若△AFP2∽△FDC
则,即,解得P2A=.
∴O P2=－6=.
∴P2的坐标为（0，－）
所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.

解析

（1）用待定系数法，知道抛物线上的三个点的坐标，可以用一般式来求解析式
（2）求证角相等，可以利用全等三角形或找中间量或放在等腰三角形里，本题通过构造两个全等的三角形来解决
（3）题目出现“使△AFP与△FDC相似”，肯定需要分情况讨论，由于∠PAF=∠DFC，
只有两种情况①△AFP∽△FCD②△AFP∽△FDC