题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（-1，0）．B点在抛物线的图象上，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为．

（1）求证：；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使 △ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）先根据同角的余角相等证得，又为等腰直角三角形，可得．即可证得结论；（2）；（3）

解析

试题分析：（1）先根据同角的余角相等证得，又为等腰直角三角形，可得．即可证得结论；
（2）由C点坐标可得BD=CO=1，即可得到B点坐标 设所在直线的函数关系式为，根据待定系数法即可求得结果；
（3）先求得抛物线的对称轴为直线．再分以为直角边，点为直角顶点；以为直角边，点为直角顶点，两种情况根据一次函数的性质求解即可.
（1）∵，，
∴．     
∵为等腰直角三角形，
∴．
在和中

∴（AAS）．
（2）∵C点坐标为，
∴BD=CO=1．
∵B点的横坐标为，
∴B点坐标为． 
设所在直线的函数关系式为，
则有，解得
∴BC所在直线的函数关系式为．          
（3）存在．     
=，
∴对称轴为直线． 
若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使．
∵ 
∴点为直线与对称轴直线的交点．
由题意得，解得
∴．
若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使，
过点作，交对称轴直线于点．

∵CD=OA，
∴A（0，2）．
易求得直线的解析式为，
由得，∴．
∴满足条件的点有两个，坐标分别为．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．