题目

题型：湖南难度：来源：

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为______．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使a^x，b^x，c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．

答案

（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以

c

a

≥2，则ln

c

a

≥ln2＞0．
令f（x）=a^x+b^x-c^x=2ax-cx=cx[2(

a

c

)x-1]=0．
得(

c

a

)x=2，所以x=

ln2

ln c a

≤

ln2

ln2

=1．
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）因为f(x)=ax+bx-cx=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，
又

a

c

＜1，

b

c

＜1，
所以对∀x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞(

a

c

)1+(

b

c

)1-1=

a+b-c

c

＞0．
所以命题①正确；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．则a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
若三角形为钝角三角形，则a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．