题目

题型：不详难度：来源：

如图,已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的顶点为M（2,1）,且过点N（3,2）．

（1）求这个二次函数的关系式;
（2）若一次函数y＝－x－4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,P为抛物线上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q,以PQ为直径作圆交直线AB于点D．设点P的横坐标为n,问:当n为何值时,线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？

答案

（1）这个二次函数的关系式为y＝(x－2)²＋1;（2）当n＝时,DQ取得最小值,为．

解析

试题分析:（1）由于顶点为M（2,1）,故设这个二次函数的关系式为y＝a(x－2)²＋1,又因为过点N（3,2）,代入解析式即可求出a的值,从而得到解析式;
（2）用含有n 得代数式表示出P,Q坐标,求出PQ最小值,再证得△DPQ∽△OAB,根据相似三角形性质即可求得DQ的最小值．
试题解析:（1）设这个二次函数的关系式为y＝a(x－2)²＋1．
把x＝3,y＝2代入得a＋1＝2,∴a＝1．
∴这个二次函数的关系式为y＝(x－2)²＋1．
（2）由题意知P（n,n²－4n＋5）,Q（n,－n－4）．
∴PQ＝n²－4n＋5－(－n－4)＝n²－n＋9＝(n－)²＋． 
∴当n＝时,PQ取得最小值,为．
易证△DPQ∽△OAB,
∴,
∵一次函数y＝－x－4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴OB=4,OA=3,AB==5
∴DQ＝PQ=．
∴当n＝时,DQ取得最小值,为．
考点:二次函数与一次函数综合．