题目
题型:不详难度:来源:
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5)。解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由。
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由。(图(3)供同学们做题使用)
答案
解析
试题分析:(1)因为点A在线段PQ垂直平分线上,所以得到线段相等,可得CE=CQ,用含t的式子表示出这两个线段即可得解;
(2)作PM⊥BC,将四边形的面积表示为S△ABC-S△BPE即可求解;
(3)假设存在符合条件的t值,由相似三角形的性质即可求得.
(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP=AQ.
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°,
∴∠EQC=45°.
∴∠DEF=∠EQC.
∴CE=CQ.
由题意知:CE=t,BP=2t,
∴CQ =t.
∴AQ=8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB="10cm" .
则AP=10-2t.
∴10-2t=8-t.
解得:t=2.
答:当t=2s时,点A在线段PQ的垂直平分线上.
(2)过P作PM⊥BE,交BE于M,
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中,,
∴.
∴PM=.
∵BC=6cm,CE=t,
∴BE=6-t.
∴y = S△ABC-S△BPE =
=
=.
∵,
∴抛物线开口向上.
∴当t=3时,y最小=.
答:当t=3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2.
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作PN⊥AC,交AC于N,
∴.
∵,
∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴,.
∵NQ=AQ-AN,
∴NQ=8-t-() =.
∵∠ACB=90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF=90°,∠QCF =∠PNQ.
∵∠FQC =∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .
∴.
∴.
∵
∴
解得:t=1.
答:当t=1s,点P、Q、F三点在同一条直线上.
核心考点
试题【已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=(x-2)2 | B.y=(x-2)2+6 | C.y=x2+6 | D.y=x2 |
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)点P为第三象限内抛物线上的一动点,连接BC、PC、PB,求△BCP面积的最大值,并求出此时点P的坐标;
(3)点E为抛物线上的一点,点F为x轴上的一点,若四边形ABEF为平行四边形,请直接写出所有符合条件的点E的坐标.
注:甲、乙两图中的A、B、C、D、E、F、G、H所对应的纵坐标分别指相应月份每千克该种蔬菜的售价和成本(生产成本6月份最低,甲图的图象是线段,乙图的图象是抛物线的一部分)。请你根据图象提供的信息说明:
(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?最大收益是多少?说明理由。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线()将四边形ABCD面积二等分,求的值;
(3)如图2,过点E(1,1)作EF⊥轴于点F,将△AEF绕平面内某点P旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,求点N和点P的坐标?
(1)求满足条件的所有点B的坐标。(直接写出答案)
(2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数解析式。(只需求出满足条件的即可)。
(3)在(2)中求出的抛物线上存在点p,使得以O、A、B、P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。
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