题目

题型：不详难度：来源：

已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.
(1)求此二次函数关系式；
(2)若直线经过抛物线顶点D，交轴于点F，且∥，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
(3)若过点A作AG⊥轴，交直线于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.

答案

（1）此二次函数关系式为：y=x²-4x+3；
（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．
（3）证明见解析．

解析

试题分析：（1）由二次函数y=x²+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解即可；
（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，分类讨论即可；
（3）先过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，即可．
试题解析：（1）∵二次函数y=x²+bx+c，图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴此二次函数关系式为：y=x²-4x+3；
（2）当CD为平行四边形对角线时，过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥OC于点N，

∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴点D（2，-1），点C（0，3），
∴DM=1，
∵l₁∥l，
∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠ECN+∠DFM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠ECN=∠FDM，
在△ECN和△FDM中，
，
∴△ECN≌△FDM（AAS），
∴CN=DM=1，
∴ON=OC-CN=3-1=2，
当y=2时，x²-4x+3=2，
解得：x=2±，
∴点E（2+，2）或（2-，2）；
当CD为平行四边形一条边时，

则EF∥CD，且EF=CD．
过点D作DM⊥y轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；
过点E作EN⊥x轴于点N．
易证△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．
∴x²-4x+3=4，
解得：x=2±．
综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．
（3）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，

设直线CE的解析式为：y=kx+3，
∵A（1，0），AG⊥x轴，
∴点G（1，k+3），
即OA=1，AG=k+3，
∵E是直线与抛物线的交点，
∴，
解得：，
∴点E（k+4，（k+1）（k+3）），
∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3），
∴，
∵∠OAG=∠BHE=90°，
∴△OAG∽△BHE，
∴∠AOG=∠HBE，
∴OG∥BE．