题目

题型：四川省期中题难度：来源：

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，
把A，B的坐标代入得：k=﹣，b=，
所以直线AB的解析为：y=x+；
（2）设点C坐标为（x，x+），
那么OD=x，CD=x+．
∴S_梯形OBCD==．
由题意得：=，
解得：x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，）；
（3）当∠OBP=90°时，如图：
①，若△BOP∽△OBA，
则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P₁（3，）；
②若△BPO∽△OBA，
则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）；
当∠OPB=90°时，
③过点P作OP⊥AB于点P（如图），
此时△PBO∽△OBA，
∠BOP=∠BAO=30°，
过点P作PM⊥OA于点M．
在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．
∴P₃（，）；
④若△POB∽△OBA（如图），
则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由对称性也可得到点P₄的坐标）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综上所述得，符合条件的点有四个，分别是：
P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），
P₄（，）．