题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列等式：1²+（1×2）²+2²=9=（1²+1+1）²，2²+（2×3）²+3²=49=（2²+2+1）²，3²+（3×4）²+4²=169=（3²+3+1）²，4²+（4×5）²+5²=441=（4²+4+1）²，5²+（5×6）²+6²=961=（5²+5+1）²，…
（1）根据以上运算，你发现了什么规律，用含有n（n为正整数）的等式表示该规律；
（2）请用分解因式的知识说明你发现的规律的正确性．

答案

（1）规律：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=（n²+n+1）²；

（2）说明：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²
=n²+n²（n+1）²+（n+1）²
=n²（1+n²+2n+1）+（n+1）²
=n²[n²+2（n+1）]+（n+1）²
=n⁴+2n²（n+1）+（n+1）²
=（n²+n+1）²．