题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
答案
(1)当n=1时,设个位为a,则16a=a,
解得:a=0;
(2)当n=2时,设个位、十位分别为a、b,则16(a+b)=10b+a,
即6b+15a=0,
∵a是从0到9的整数,b是从1到9的整数,
∴左边大于0,不成立,舍去;
(3)当n=3时,设个、十、百位分别为a、b、c,则16(a+b+c)=100c+10b+a,
即6b+15a=84c,此时有可能成立;
①当c≥3时,6a+15b≥252,
∵a、b的最大值为9,
∴6a+15b≤189,
∴此时无解,舍去.
②当c=2时,6b+15a=168,
∵a、b的最大值为9,
∴容易判断此时只有一组解a=8,b=8,即此时此数为288,
③当c=1时,6b+15a=84,
∴a=2,b=9或a=4,b=4,
也就是说这个分类下有2个数,即144和192;
(4)当n=4时,设个、十、百、千位分别为a、b、c、d,则16(a+b+c+d)=1000d+100c+10b+a,
∵一个n位数中除了最高位是从1到9的数外,其他数位都是从0到9的数,
∴右边最小值为1000,而左边最大值为16×9+9+9+9)<1000,
∴方程不可能有解.
∴这个数不是4位数;
同理:当n>4时,无解;
∴符合条件的共有4个数:0,192、144、288.
∴0+192+144+288=624.
答:所有这样的自然数之和是624.
核心考点
举一反三
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