百科
曲线与方程的关系
曲线与方程的关系
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
相关试题
已知点（x，y）在椭圆C： 
的第一象限上运动。
（1）求点
的轨迹C′的方程；
（2）若把轨迹C′的方程表达式记为
，且
在
内有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。 设F1、F2分别为椭圆C： 
（a＞b＞0）的左、右两个焦点。
（1）若椭圆C上的点A（1，
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试对双曲线
写出具有类似特性的性质，并加以证明。 已知动点P（x，y）与两定点M(-1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）。
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状：
（Ⅲ）当λ=-2时，过定点F(0，1)的直线l与轨迹C交于A、B两点，求△AOB的面积的最大值。曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹，
给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于
a2；其中，所有正确结论的序号是（ ）。为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 
km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4
km的区域， 
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程；
(Ⅱ)如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是定直线a上定点，且直线AP与a夹角为θ（θ为锐角），点A到平面α距离为d，则动点P的轨迹方程为 
[ ] A.x2tan2θ+y2=d2
B.x2tan2θ-y2=d2
C.y2=2d（x-
）
D.y2=-2d（x-
）若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称，过点C(-a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）。 动点P（x，y）到定点A（3，4）的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为 [ ]
A.x2-6x-10y+24=0
B.x2-6x-6y+24=0
C.x2-6x-10y+24=0或x2-6x-6y=0
D.x2-8x-8y+24=0平面内与两定点A1（-a，0）、A2（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（2）当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的m∈（-1， 0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2。设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。如图，椭圆Q： 
（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点。
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ（0＜θ≤
），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？ 如图，椭圆Q： 
（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点。
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ（0＜θ≤
），设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N，当θ为何值时，△MNF为一个正三角形？设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（ 
，0），
（1）求证：三点A、M、B共线；
（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程。设0＜θ＜ 
，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1 有4个不同的交点，
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。 已知常数a＞0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。 如果曲线C上的点的坐标（x，y）都是方程F（x，y）=0的解，那么 [ ] A.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上
B.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F（x，y）=0的解
D.坐标不满足F（x，y）=0的点不在C上已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足 
，设P为弦AB的中点。
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由。已知曲线C：y=x2与直线l：x-y+2=0交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB。记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D。设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+
=0与点D有公共点，试求a的最小值。 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。如果曲线C上的点的坐标（x，y）都是方程F（x，y）=0的解，那么 [ ]
A.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上
B.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F（x，y）=0的解
D.坐标不满足F（x，y）=0的点不在C上求过定点（0，1）的直线被双曲线 
截得的弦中点轨迹方程。 已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，1），若点M分 
所成的比为2，则点M的轨迹是（ ）。点M（1，-2）在方程x2-xy+ay+1=0的曲线上，则a的值等于（ ）。 若点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点M的轨迹方程是 [ ]
A.y=2x2
B.y=8x2
C.2y=8x2-1
D.2y=8x2+1已知坐标满足方程f(x ，y)=0 的点都在曲线C 上，则 [ ] A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)=0
B．坐标不适合方程f(x，y)=0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标都不适合方程f(x，y)=0
D．不在曲线C上的点的坐标一定有些适合，也有些不适合方程f(x，y）=0确定方程 
的解集( )曲线 
是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数
的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线
过坐标原点；
②曲线
关于坐标原点对称；
③若点
在曲线
上，则
的面积不大于
.其中，所有正确结论的序号是（ ）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 
（φ为参数），曲线C2的参数方程为
（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=
时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当α=
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣
时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠﹣1时，直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=
，求曲线C的方程． 已知曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay﹣20+20a=0．
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过一定点；
（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
（3）若曲线C与x轴相切，求a的值．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）
所表示的曲线图形是
表示的曲线是
所表示的曲线不可能是
所围成的图形，下列判断不正确的是
．若曲线
上存在两点
，使
为正三角形，则称
为
型曲线．给定下列三条曲线：
； 
； 
．
型曲线的个数是
．若曲线
上存在两点
，使
为正三角形，则称
为
型曲线．给定下列三条曲线：
； 
； 
．
型曲线的个数是
，则所得到的曲线的方程是（ ）
