题目

题型：广东省高考真题难度：来源：

已知曲线C：y=x²与直线l：x-y+2=0交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B。记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D。设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+=0与点D有公共点，试求a的最小值。

答案

解：（1）联立y=x²与y=x+2得，
则AB中点，
设线段PQ的中点M坐标为（x，y），
则，
又点P在曲线C上，
∴，
化简可得，
又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，
则，
∴中点M的轨迹方程为。
（2）曲线G：，
即圆E：，其圆心坐标为E（a，2），半径，
由图可知，当时，曲线G：与点D有公共点；
当a＜0时，要使曲线G：与点D有公共点，
只需圆心E到直线l：x-y+2=0的距离，得，
则a的最小值为。